Свободные колебания в динамических системах Линейные параметрические цепи Параметрический генератор(параметрон) Параметрические умножение и деление частоты Метод фазовой плоскости

Курс лекций по физике Колебания и волны

Всякая оптическая система осуществляет преобра­зование световых пучков. Если любая точка предмета изображается в виде точки, изображение называется точечным или стигматическим. В этом случае все лучи, вышедшие из точки P, пересекутся в одной точке P?. Эта точка представляет собой оптическое изображение точки P. Изображение называется действительным, если световые лучи в точке P? действительно пересекаются, и мнимым в противном случае. Оптическая длина всех лучей, идущих от точки P до ее изображения P? одинакова. Поскольку в противном случае свет пошел бы по наименьшему оптическому пути.

Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами

В технике радиосвязи, радиолокации, в устройствах техники СВЧ, микроэлектроники и других широкое применение получили элементы, у которых размеры сравнимы или больше длины волны l>λ, К таким элементам относятся линии передачи энергии (двухпроводные, коаксиальные и микрополосковые линии, волноводы и др.).

Их значения находят в общем случае методами теории электромаг­нитного поля.

Дифференциальные уравнения, связывающие в некоторый момент мгновенные значения токов и напряжений, имеют следующий вид:

 

и часто называются телеграфными уравнениями, что обусловлено исторически, когда впервые применили линии связи для передачи телеграфных сигналов. Совместное решение дифференциальных урав­нений в частных производных при заданных начальных и граничных условиях позволяет в каждом конкретном случае решить поставлен­ную задачу на отыскание мгновенных значений токов и напряжений в линии.

Классификация длинных линий

Если погонные параметры линии R, L, С и G посто­янные во времени и пространстве величины, то такую линию назы­вают однородной в пространстве и инвариантной во времени линейной линией.

Если погонные параметры R, L, С и G зависят от времени, линия называется параметрической.

Если параметры R, L, С и G представляют собой функ­ции напряжения U и тока

i , то такая линия называется нели­нейной.

Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом

Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений, их ана­литическое решение для произвольных сопротивлений генератора и нагрузки и сигнала произвольной формы отсутствует. Применение операторного метода, как было показано ранее, позволяет суще­ственно упростить отыскание мгновенных значений напряжения U(x,t) и тока i (x,t ).

Ограничимся рассмотрением линейной, однородной, инвариант­ной во времени длинной линией. В этом случае уравнение будет иметь вид:

 

Напряжение U (x,t ) и токи i (x,t ) в длинной линии, а также источники, как и ранее удовлетворяют условию принадлежности к классу оригиналов.

В этом случае

 

Применяя преобразование Лапласа к системе уравнений, получим систему операторных уравнений в полных производных:

 

где Z=pL + R; Y=рC+G ; либо одно дифференциальное уравнение второго порядка:

 

где   - операторная постоянная распространения волны;  - функция начальных условий. Решение уравнения U (x, p) состоит из общего решения однородного дифференциального уравнения и какого либо частного решения:

 U(p,x)=A1e-γx+ A2eγx+U0.

Тогда из первого уравнения системы находим:

 

где   - операторное волновое сопротивление; коэффициенты А1(р) и A2(р) определя­ются из граничных условий.

Решение операторной системы уравнений для изображения на­пряжения U(р,x) и тока I(р,x) найдено. Осуществив обратное преобразование Лапласа, восстанавливают оригиналы на­пряжения U( x, t) и тока I(х,t ). Однако решение в об­щем случае отыскать не удается. Рассмотрим некоторые частные случаи.

Колебания и волны Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных динамических системах. Преобразование Лапласа и его основные свойства.

Применение операторного метода для анализа процессов в цепях сосредоточенными элементами. При использовании операторного метода для решения задач теории цепей удобно осуществить преобразование Лапласа для основных соотношений, составляющих аксиоматику теории цепей. Это позволяет миновать этап составления интегро-дифференциальных уравнений.

Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях. Рассмотрим цепь, в которой в момент времени t=0 возбуждаются свободные колебания. Они обусловлены напряжениями, до которых в момент t=0 заряжены емкости цепи – uC(0) и токами протекающими в тот же момент через индуктивность – iL(0). Совокупность значений uC(0) и iL(0) составляет начальные условия задачи, которые при записи системы уравнений в операторной форме определяет правые части уравнений. Видно, что определение свободных колебаний в цепи является по существу задачей Коши.

Примеры анализа свободного колебаний

Преломление в линзе. Оптическая система представляет совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга оптически однородные среды. Большое значение имеет случай оптической системы, состоящей из двух сферических поверхностей. Такая система представляет собой линзу. Линза называется тонкой, если ее толщина мала по сравнению с и , радиусами кривизны ограничивающих поверхностей
Анализ колебаний в нелинейных цепях