Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Балка на упругом основании

 Если балка лежит на упругом основании, то последнее оказывает на балку реактивное давление  (гипотеза Винклера), где k - коэффициент упругости основания (коэффициент постели). Добавляя в правую часть уравнения нагрузку , получим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании:

  (6.27)

Расчет и построение графиков модуля и аргумента передаточной функции ФНЧ. Найдем модуль и аргумент комплексного коэффициента передачи фильтра нижних частот.

Введем обозначение:

 

Тогда уравнение (6.27) принимает вид:

   (6.28)

Его общим решением будет: 

   (6.29)

 34 

где - частное решение неоднородного уравнения (6.27).

  Так как:

 

то общее решение (6.27) можно записать в ином виде:

 

 Академик А. Н. Крылов ввел функции:

 

обладающие свойством:

 

 Они образуют систему частных решений уравнения (6.63) с единичной матрицей, представляемой в виде табл. 6.1.

 Общее решение уравнения (6.27) можно записать через функции Крылова в виде

 

где

 

 Таблица 6.1.

 

Рассмотрим балку полубесконечной протяженности (рис. 6.17).

 Рис. 6.17.

На краю балки при действуют сосредоточенные сила Р и момент m. Следовательно, на край балки при z = 0 имеем перерезывающую силу  и изгибающий момент . Если балка весьма длинная, то при больших z (теоретически) прогибы должны быть весьма малыми (теоретически). Поэтому, согласно (6.29), . Так как распределенная нагрузка q = 0, то частное решение .

Следовательно, общее решение рассматриваемой частной задачи имеет вид:

  (6.30)

 Вычислим производные:

Зная их, можно вычислить изгибающий момент и перерезывающую силу: 

 (6.31)

 Постоянные  определяем из граничных условий при :

 

откуда с учетом (6.30), (6.31) получаем:

 

 Для прогиба (6.30) получаем выражение:

   (6.32)

 Максимальный прогиб находим из (6.31) при z = 0:

  

 Пусть на краю балки при z = 0 момент а перерезывающая сила тогда:

   

  

 Как видно, прогиб v, момент Мх, сила Qy по мере удаления от края балки z = 0 периодически уменьшаются по экспоненциальному закону. Эта особенность быстрого затухания v, Mx, Qy по мере удаления от края балки называется краевым эффектом (см. рис. 6.17).

Изгиб и кручение тонкостенных стержней открытого профиля (теория В.З. Власова) Понятие о тонкостенных стержнях закрытого и открытого профилей. Особенности стержней с открытым профилем (малая жесткость при кручении). Депланация поперечных сечений. Свободное и стесненное кручение. Основные предпосылки. Нормальное напряжение в сечении при стесненном кручении. Бимомент. Секториальные характеристики сечения. Выбор полюса.
Прочность и разрушение материалов и конструкций