Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения 

  Потенциальная энергия деформации при растяжении, кручении и изгибе была рассмотрена нами в главах 2, 3, 5. При изгибе мы не учитываем энергию, возникшую за счёт сдвига.

  В общем случае сопротивления бруса деформированию при нагружении в его поперечных сечениях возникают шесть внутренних силовых факторов:.

 Для бруса длиной из линейно-упругого материала потенциальная энергия определяется формулой

 , (7.1)

где коэффициенты  зависят от формы поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения , для круглого -  для тонкостенной трубки  

 Если стержневая система состоит из нескольких элементов, то необходимо произвести суммирование энергий по числу этих элементов. Энергия растяжения и сдвига, как правило, меньше энергий изгиба и кручения. Вместе с тем возможны случаи (например, внецентренное сжатие), когда энергия растяжения и изгиба одного порядка. Энергия от сдвига в (7.1), сопровождаемая возникновением перерезывающих сил, может быть определена следующим образом: удельная потенциальная энергия чистого сдвига  Следовательно,

  

Используя формулу (5.37) Журавского для касательного напряжения, найдём:

  

где обозначено

  

Принцип возможных перемещений и формула Лагранжа

 Рассмотрим балку (рис. 7.3,а), находящуюся под действием силы Р. Пусть некоторая точка А оси балки совершила конечное действительное перемещение , которое зависит от значения силы , т.е.  Изменим внешнюю силу  на бесконечно малую величину .

  а) б)

 Рис. 7.3

 Тогда действительное перемещение  получит бесконечно малое перемещение  Рассмотрим теперь множество перемещений точки А, которые могли бы быть сообщены точке А в соответствии с наложенными на балку внешними связями, но не совершаются фактически вследствие неизменности внешней силы Р. Назовём возможным перемещением любое бесконечно малое воображаемое перемещение, которое может быть сообщено точке А тела в данный момент в соответствии с наложенными на него связями. В отличие от действительного бесконечно малого перемещения   возможное будем обозначать , где символ  носит название вариации и для него приняты те же правила, что и для дифференциала  Отметим, что это правило в данном случае не относится к нагрузке

1) Ж.Лагранж (1736-1813)-великий французский математик и механик.

 Пусть теперь мы имеем упругое тело произвольной геометрической формы (рис. 7.3,б). На него действует система обобщённых внешних сил   Тогда точка А приложения одной из сил  совершит действительное перемещение, проекцию которого на направление этой силы обозначим . Потенциальная энергия  может быть выражена либо через силы , либо через перемещения

 

 Сообщим точкам приложения сил  возможные перемещения  Элементарная работа внешних сил   Считая, что U представлена через обобщённые перемещения, найдём элементарную работу внутренних сил:

 

 Приравнивая элементарную работу внешних и внутренних сил, получим условие:

  (7.2)

выражающее принцип возможных перемещений Лагранжа. Вследствие произвольности вариаций  в (7.2) находим формулу:

  

выражающую собой теорему Лагранжа: частная производная энергии деформации по перемещению равна силе.

 Для линейно упругого тела зависимость между силами и перемещениями является линейной. Наиболее простым выражением для потенциальной энергии является квадратичная формула

    (7.4)

где Cij - постоянные коэффициенты упругой жёсткости тела.

 На основании (7.3) и (7.4) получаем систему уравнений обобщённого закона Гука:

   (7.5)

которые связывают силы с перемещениями.

В развёрнутом виде закон (7.5) имеет вид

  

где коэффициенты  зависят от размеров тела. Поэтому они не являются упругими постоянными материала.

 На основании (7.5) выражение (7.4) для потенциальной энергии можно записать в виде

  (7.6)

Коэффициенты  в (7.5) симметричны. По теореме Лагранжа (7.3)

 

 Из условия независимости смешанной второй производной от потенциальной энергии  получаем

 Приведём пример применения теоремы Лагранжа к нелинейной упругой системе.

Потенциальная энергия двух растягиваемых стержней (рис. 7.4):

  

 Рис. 7.4

В силу закона Гука  

 Из рис. 7.4 следует перемещение  Так как  то

  

Следовательно, потенциальная энергия:

   

может быть выражена через перемещение . Поскольку условия для использования формулы Лагранжа соблюдены, получаем:

  

что совпадает с формулой (2.87), полученной ранее иным путём (см. кн.1).

Изгиб и кручение тонкостенных стержней открытого профиля (теория В.З. Власова) Понятие о тонкостенных стержнях закрытого и открытого профилей. Особенности стержней с открытым профилем (малая жесткость при кручении). Депланация поперечных сечений. Свободное и стесненное кручение. Основные предпосылки. Нормальное напряжение в сечении при стесненном кручении. Бимомент. Секториальные характеристики сечения. Выбор полюса.

Прочность и разрушение материалов и конструкций