Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения
Потенциальная энергия деформации при растяжении, кручении и изгибе была рассмотрена нами в главах 2, 3, 5. При изгибе мы не учитываем энергию, возникшую за счёт сдвига.
В общем случае сопротивления бруса деформированию при нагружении в его поперечных сечениях возникают шесть внутренних силовых факторов:
.
Для бруса длиной
из линейно-упругого материала потенциальная энергия определяется формулой
, (7.1)
где коэффициенты
зависят от формы поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения
, для круглого -
для тонкостенной трубки
![]()
Если стержневая система состоит из нескольких элементов, то необходимо произвести суммирование энергий по числу этих элементов. Энергия растяжения и сдвига, как правило, меньше энергий изгиба и кручения. Вместе с тем возможны случаи (например, внецентренное сжатие), когда энергия растяжения и изгиба одного порядка. Энергия от сдвига в (7.1), сопровождаемая возникновением перерезывающих сил, может быть определена следующим образом: удельная потенциальная энергия чистого сдвига
Следовательно,
![]()
Используя формулу (5.37) Журавского для касательного напряжения, найдём:
![]()
где обозначено
![]()
Принцип возможных перемещений и формула Лагранжа
Рассмотрим балку (рис. 7.3,а), находящуюся под действием силы Р. Пусть некоторая точка А оси балки совершила конечное действительное перемещение
, которое зависит от значения силы
, т.е.
Изменим внешнюю силу
на бесконечно малую величину
.
а) б)
Рис. 7.3
Тогда действительное перемещение
получит бесконечно малое перемещение
Рассмотрим теперь множество перемещений точки А, которые могли бы быть сообщены точке А в соответствии с наложенными на балку внешними связями, но не совершаются фактически вследствие неизменности внешней силы Р. Назовём возможным перемещением любое бесконечно малое воображаемое перемещение, которое может быть сообщено точке А тела в данный момент в соответствии с наложенными на него связями. В отличие от действительного бесконечно малого перемещения
возможное будем обозначать
, где символ
носит название вариации и для него приняты те же правила, что и для дифференциала
Отметим, что это правило в данном случае не относится к нагрузке
1) Ж.Лагранж (1736-1813)-великий французский математик и механик.
Пусть теперь мы имеем упругое тело произвольной геометрической формы (рис. 7.3,б). На него действует система обобщённых внешних сил
Тогда точка А приложения одной из сил
совершит действительное перемещение, проекцию которого на направление этой силы обозначим
. Потенциальная энергия
может быть выражена либо через силы
, либо через перемещения
Сообщим точкам приложения сил
возможные перемещения
Элементарная работа внешних сил
Считая, что U представлена через обобщённые перемещения, найдём элементарную работу внутренних сил:
Приравнивая элементарную работу внешних и внутренних сил, получим условие:
(7.2)
выражающее принцип возможных перемещений Лагранжа. Вследствие произвольности вариаций
в (7.2) находим формулу:
![]()
выражающую собой теорему Лагранжа: частная производная энергии деформации по перемещению равна силе.
Для линейно упругого тела зависимость между силами и перемещениями является линейной. Наиболее простым выражением для потенциальной энергии является квадратичная формула
![]()
(7.4)
где Cij - постоянные коэффициенты упругой жёсткости тела.
На основании (7.3) и (7.4) получаем систему уравнений обобщённого закона Гука:
![]()
(7.5)
которые связывают силы с перемещениями.
В развёрнутом виде закон (7.5) имеет вид
![]()
где коэффициенты
зависят от размеров тела. Поэтому они не являются упругими постоянными материала.
На основании (7.5) выражение (7.4) для потенциальной энергии можно записать в виде
(7.6)
Коэффициенты
в (7.5) симметричны. По теореме Лагранжа (7.3)
Из условия независимости смешанной второй производной от потенциальной энергии
получаем
Приведём пример применения теоремы Лагранжа к нелинейной упругой системе.
Потенциальная энергия двух растягиваемых стержней (рис. 7.4):
![]()
Рис. 7.4
В силу закона Гука
![]()
Из рис. 7.4 следует перемещение
Так как
то
![]()
Следовательно, потенциальная энергия:
![]()
может быть выражена через перемещение
. Поскольку условия для использования формулы Лагранжа соблюдены, получаем:
![]()
что совпадает с формулой (2.87), полученной ранее иным путём (см. кн.1).
Изгиб и кручение тонкостенных стержней открытого профиля
(теория В.З. Власова)
Понятие о тонкостенных стержнях закрытого и открытого профилей. Особенности стержней с открытым профилем (малая жесткость при кручении). Депланация поперечных сечений. Свободное и стесненное кручение. Основные предпосылки. Нормальное напряжение в сечении при стесненном кручении. Бимомент. Секториальные характеристики сечения. Выбор полюса.
Прочность и разрушение материалов и конструкций |