Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

 Пример 3. Пусть требуется определить вертикальное и горизонтальное перемещение точки А в кривом стержне (рис. 7.12,а) постоянного радиуса кривизны

  Для определения перемещений воспользуемся формулой Мора в виде (7.10), пренебрегая влиянием нормальной  и перерезывающей  сил. Изгибающий момент в произвольном сечении, определяемом углом (рис. 7.12,б), равен

  

 а) б)

 Рис. 7.12

  

 а) б)

 Рис. 7.13

 Для определения вертикального и горизонтального перемещений соответственно имеем (рис. 7.13).  Подставляя выражения моментов в формулу Мора в форме (7.10), получим:

 

 В рассмотренном примере считается, что размеры поперечного сечения малы по сравнению с радиусом  Это предположение позволяет использовать формулу Мора, полученную для прямого бруса, применительно к кривому брусу.

Графоаналитический способ Верещагина вычисления интегралов в формуле Мора

 Студент МИИЖТ Верещагин в 1924 году предложил способ, значительно упрощающий вычисление интегралов в формуле Мора (7.18).

Интегралы Мора с точностью до постоянного множителя представляют собой интегралы от произведения двух функций вида:

 

где, по крайней мере, одна из функций (рис. 7.14)

  

является линейной (постоянные величины).

 Возьмём к примеру, интеграл

 

где  - момент от единичной обобщённой силы – линейная функция,  - в общем случае – криволинейная функция.

 Подставляя выражение для  в выражение для и производя почленное интегрирование, найдём:

   

 

 Рис. 7.14

 Из рис. 7.14 следует, что  есть элементарная площадь криволинейной эпюры,  - статический момент этой элементарной площади относительно оси  Поэтому:

  (7.20)

 Из полученной формулы (7.20) следует простое правило вычисления интегралов Мора: интеграл с точностью до постоянного множителя равен произведению площади  криволинейной эпюры  на ординату  взятую из прямолинейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры.

 На первый взгляд, описанный графоаналитический способ вычисления интегралов Мора не даёт упрощений, т.к. всё равно приходится вычислять площадь  криволинейных эпюр. Однако встречающиеся на практике эпюры могут быть разбиты на ряд простейших – прямоугольник, треуголь-ник, симметричную квадратичную параболу и др. Эти эпюры приведены на рис. 7.15.

 

 а) б) в) г)

 Рис. 7.15

 В первом случае  во втором  в третьем  в четвёртом

 Рассмотрим несколько сложных эпюр (рис. 7.16):  а) эпюра разбивается на симметричную параболу, треугольник и прямоугольник; б) эпюра пересекает ось стержня, её можно дополнить сверху и снизу равными площадями и разложить на два треугольника, доказательство добавляемых площадей элементарно: из подобия заштрихованных треугольников следует   откуда  что и доказывает утверждение;

в)эпюра разбивается на симметричную параболу и два треугольника, соответствующих случаю (б).

 

 

 а) б) в)

 Рис. 7.16

Изгиб и кручение тонкостенных стержней открытого профиля (теория В.З. Власова) Понятие о тонкостенных стержнях закрытого и открытого профилей. Особенности стержней с открытым профилем (малая жесткость при кручении). Депланация поперечных сечений. Свободное и стесненное кручение. Основные предпосылки. Нормальное напряжение в сечении при стесненном кручении. Бимомент. Секториальные характеристики сечения. Выбор полюса.
Прочность и разрушение материалов и конструкций