Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Определение напряжений и перемещений в витых пружинах 

 Одним из простых примеров применения теоремы Кастилиано (7.12), (7.15) к определению перемещений является расчёт винтовой пружины. 

 а) б)

 Рис. 7.22

Винтовая, или витая, пружина – это пространственно изогнутый стержень (рис. 7.22,а). На рис. 7.22,б показана отсечённая часть пружины с углом подъёма витка . Приведём, направленную по оси пружины силу Р к центру тяжести сечения. В результате получим вектор-момент  Разлагая его на направление касательной к винтовой линии и перпендикулярное направление, найдём крутящий и изгибающие моменты:

 

 Нормальной силой , перерезывающей силой  пренебрежём.

Так как моменты всюду постоянны, то на основании (7.1):

 

 Перемещение точки приложения силы Р к пружине:

   

 Наибольшее напряжение изгиба:

  

 Наибольшее напряжение кручения:

   

 На практике обычно применяются пружины с малым углом подъёма . Для таких пружин можно принять Тогда

 .

Условие прочности:

Теорема о взаимности работ и перемещений

  Теорема о взаимности вместе с теоремами Лагранжа и Кастилиано относятся к общим теоремам сопротивления материалов. Она вытекает из принципа независимости действия сил для линейных упругих систем.

 Рассмотрим упругое тело, к которому в точках А и В приложены соответственно силы  и (рис. 7.23).

 Используя принцип независимости действия сил, вычислим работу, которую совершают силы при прямом и обратном порядке их приложения. Приложим сначала силу РА. Она совершит работу  Затем приложим силу РВ. Она совершит работу  Одновременно с этим совер 61

шит работу уже действующая сила  на некотором перемещении , которое совершит точка А от действия силы   Эта работа равна  

  а) б)

 Рис. 7.23

Таким образом, в теле будет накоплена потенциальная энергия:

  

 Аналогично при обратном приложении сил будет накоплена энергия:

  

 Сравнивая выражения работ, получим:

   (7.22)

 Соотношение (7.22) выражает собой теорему о взаимности работ: работа силы  на перемещении точки её приложения от действия силы равна работе силы  на перемещении  точки её приложения от действия силы  

 Под силами  и перемещениями  можно понимать обобщённые силы и перемещения. Если  , то  и мы приходим к теореме о взаимности перемещений: перемещение точки А под действием силы Р, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием той же силы, приложенной в точке А. Рис. 7.23,б иллюстрирует теорему о взаимности перемещений. Если силы  то имеем  

 Пример. Пусть требуется найти прогиб точки В посередине пролёта балки от действия момента m в опоре А (рис. 7.24).

 

 а) б)

 Рис. 7.24

 Для определения перемещения  (рис. 7.24,а) воспользуемся теоремой о взаимности работ. Рассмотрим такую же балку, нагруженную в точке В силой Р

(рис. 7.24,б). Решение этой задачи нам известно:

  

На основании теоремы о взаимности работ

  

откуда прогиб

  

Изгиб и кручение тонкостенных стержней открытого профиля (теория В.З. Власова) Понятие о тонкостенных стержнях закрытого и открытого профилей. Особенности стержней с открытым профилем (малая жесткость при кручении). Депланация поперечных сечений. Свободное и стесненное кручение. Основные предпосылки. Нормальное напряжение в сечении при стесненном кручении. Бимомент. Секториальные характеристики сечения. Выбор полюса.
Прочность и разрушение материалов и конструкций