Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Примеры расчёта статически неопределимых стержневых систем по методу сил

Пример 1. Раскрыть статическую неопределимость балки методом сил и определить точки С приложения силы Р (рис.8.15,а).

 

 Рис. 8.15.

Решение. Балка один раз статически неопределима, ибо в задаче возникает три неизвестные опорные реакции RA , RB , mA , а уравнений равновесия можно составить только два. В качестве лишней связи выбираем опору В. На рис. 8.15,б,в изображены основная и эквивалентная системы. Каноническое уравнение метода сил имеет вид

 . (1)

 Для определения коэффициентов ,  для основной системы строим эпюры отдельно от действия внешней нагрузки (рис. 8.15,г) и от единичной силы

(рис. 8.15,д).

На основании формулы Мора и способа Верещагина находим

    

Подстановка полученных выражений в каноническое уравнение (1) приводит к выраже-нию:

  

откуда находим:

 . (2)

 Теперь, используя (2), из уравнений равновесия для эквивалентной системы

  

находим опорные реакции:

  

 75 

 На рис. 8.15,е,ж изображены окончательные эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов.

 Для определения прогиба в точке С прикладываем в этой точке основной системы единичную силу Р = 1 (рис. 8.15,з). Перемножая эпюру от этой силы на результирующую (рис.8.15,ж), находим:

   

 Деформационная проверка правильности построенных эпюр состоит в определении перемещения точки В, которое заведомо равно нулю. Используя формулу Мора и способ Верещагина, перемножаем эпюру моментов на эпюру от единичной силы  В результате находим:

   

Следовательно, эпюра моментов в данной задаче построена правильно.

Пример 2. Решим предыдущую задачу (рис. 8.16,а) несколько проще. Выберем основную систему так, как показано на рис. 8.13,б, т.е. разрежем балку в защемлении и вставим шарнир. Этим самым мы освободим одну простую лишнюю связь. Экивалентная система приведена на рис. 8.16,в, а эпюры от единичного момента и внешней нагрузки – на рис. 8.16,г,д. Коэффициенты канонического уравнения:

 

 Подставляя полученные значения коэффициентов в каноническое уравнение, найдём , т.е. то же значение опорного момента mA , что и в предыдущей задаче.

Далее для эквивалентной системы строим эпюры Q, M. Эпюра моментов может быть получена весьма просто сложением эпюр моментов, изображённых на рис. 8.16,г,д, при условии, что ординаты единичной эпюры увеличены раза. После определения опорных реакций RA , RB из уравнений равновесия

  ,

обычным способом строится эпюра Q. Перемножая эпюры на рис. 8.16,е,ж, находим:

 

 Деформационная проверка даёт

 

что подтверждает правильность решения.

 

 Рис. 8.16.

Начало отсчета секториальных площадей. Формула нормальных напряжений. Центр изгиба. Касательные напряжения в поперечном сечении и их определение. Дифференциальное уравнение углов закручивания и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Внецентренное действие поперечной силы. Аналогия с изгибом. Особенности стесненного кручения тонкостенных стержней замкнутого профиля.
Прочность и разрушение материалов и конструкций