Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Пример 3. Рассмотрим дважды статически неопределимую балку (рис. 8.17,а). Раскроем её статическую неопределённость методом сил.

 Возможны, как и в примерах 1 и 2, два варианта выбора эквивалентной системы (рис. 8.17.,б,в). Более рациональной является эквивалентная система на рис. 8.14,в, где в опорах врезаны внутренние шарниры.

 Канонические уравнения метода сил имеют вид:

  (1)

Для определения коэффициентов строим для основной системы эпюры от внешней нагрузки (рис. 8.17,г) и единичных моментов (рис. 8.17,д).

 Рис. 8.17

В результате их перемножения по способу Верещагина, находим:

  

 Подставляя полученные значения коэффициентов в канонические уравнения (1), находим:

  

откуда следует:

 

 Эпюра моментов от Х1 и Х2 построена на рис. 8.17,е. Складывая её с эпюрой моментов от внешних сил (рис. 8.17,г), находим суммарную эпюру моментов (рис. 8.17,ж).

 Найдём далее из уравнений равновесия частей эквивалентной системы опорные реакции. Из рис. 8.14,в следует:

 

откуда находим:

 

 Эпюра перерезывающих сил строится по известным правилам (см. рис. 8.17,з). Далее производится деформационная проверка. Угол поворота сечения в опоре 1 (защемление) и взаимный угол поворота сечений над опорой 2 равны нулю.

Сделаем проверку второго из этих условий:

 

Деформационная проверка подтверждает правильность полученного решения.

Пример 4. Раскрыть статическую неопределимость рамы и построить эпюры N, Q, M (рис. 8.18).

 Рис. 8.18

Заданная стержневая система (рис. 8.12,а) один раз статически неопределима. На

рис. 8.18,б изображена основная система, на рис. 8.18,в – эквивалентная. Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

  (1)

 Для определения коэффициентов  строим эпюры моментов от единичной силы   и внешней силы Р (рис. 8.19). При определении используем эпюру от единичной силы (рис. 8.19,а). Она является одновременно эпюрой моментов от заданной и единичной нагрузки. Применяя формулу Мора (7.18) при сохранении члена с изгибающим моментом и способ Верещагина, получаем:

   

Для вычисления  воспользуемся формулой Мора (7.18) в виде

  

где использованы эпюры на рис. 8.19. Подставляя найденные значения  в каноническое уравнение, получим:

  

откуда находим лишнюю неизвестную:

 

 79

 

 Рис. 8.19

 

 При построении эпюр используем эквивалентную систему, в которой Х1 уже известно, и метод сечений. Построение эпюры моментов можно упростить, если применить способ разложения: эпюру моментов строить отдельно от внешней нагрузки и силы Х1 , а затем их сложить. Эпюра от внешней нагрузки изображена на рис. 8.19,б. Эпюру моментов от Х1 получим от единичной силы  (рис. 8.19,а), если все ординаты этой эпюры умножим на Х1 (рис. 8.20,а). Складывая эту эпюру с эпюрой на рис. 8.19,б получим окончательную эпюру моментов (рис. 8.20,б). Эпюры нормальных и перерезывающих сил строим с использованием метода сечений (см. рис. 8.18).

 

 Рис 8.20 

 Для деформационной проверки определим перемещение в направлении силы Х1 эквивалентной системы (рис. 8.18). Для этого по правилу Верещагина перемножим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 8.20,б) на единичную (рис. 8.19,а) 80 

либо, что всё равно, эпюры моментов Х1 и Р (рис. 8.20,а; 8.19,б) - на единичную от .

 В результате получим:

  

что подтверждает правильность полученного решения.

 

Пример 5. Рассмотрим два раза статически неопределимую раму (рис. 8.21,а). На

рис. 8.21,б изображена её эквивалентная система. Для определения коэффициентов системы канонических уравнений (8.4) построим эпюры от единичных сил и внешней нагрузки (рис. 8.21). Используя формулы (7.18), (8.5) и способ Верещагина найдём:

  

Подставляя найденные значения коэффициентов в канонические уравнения (8.4) для

i = 2, получим:

 

откуда:

 

 Умножая единичные эпюры на рис. 8.21. соответственно на Х1 , Х2 , получим эпюры моментов от этих сил (рис. 8.22,а,б). Складывая эти эпюры с эпюрой моментов от внешней нагрузки (рис. 8.20,в), получим суммарную эпюру моментов (рис. 8.23,а). Эпюры N и Q изображены на рис. 8.23,б,в соответственно.

 Произведём деформационную проверку. Для этого найдём перемещения:

  

что подтверждает правильность полученного решения.

  

 Рис. 8.21

 

 Рис. 8.22

 

 Рис. 8.23

Начало отсчета секториальных площадей. Формула нормальных напряжений. Центр изгиба. Касательные напряжения в поперечном сечении и их определение. Дифференциальное уравнение углов закручивания и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Внецентренное действие поперечной силы. Аналогия с изгибом. Особенности стесненного кручения тонкостенных стержней замкнутого профиля.
Прочность и разрушение материалов и конструкций