Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости

  Рассмотрим раму, имеющую ось геометрической симметрии

(рис. 8.24,а). Заменим внешнюю нагрузку ей статически эквивалентной, такой, что она представляет сумму симметричной (рис.8.24,б) и кососимметричной (рис.8.24,в) нагрузок относительно оси геометрической симмет-рии.

 Аналогично можно классифицировать внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержневой системы (рис.8.25). 

  Изгибающие моменты МХ, МУ, нормальная сила N являются зеркальным отражением друг друга относительно плоскости поперечного сечения. Эти внутренние силовые факторы назовём симметричными. Остальные (перерезывающие силы Qx , Qy и крутящий момент Мz ) назовём антисимметричными или кососимметричными силовыми факторами.

   

 Рис. 8.24.

 

 Докажем теперь положение:

у геометрически симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные внутренние силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке – симметричные силовые факторы (рис.8.26).

 

 

 Рис. 8.25

 Канонические уравнения метода сил для изображённой на рис.8.24 трижды статически неопределимой рамы имеют вид

   (8.6)

 

 Рис. 8.26

 На рис. 8.27.приведены эпюры изгибающих моментов от единичных сил.

 На основании этих эпюр находим:

 

 

 а) б) в)

 Рис. 8.27

Следовательно, канонические уравнения (8.6) принимают вид

  (8.7)

 На рис. 8.28 приведены эпюры моментов от внешних симметричной (рис.8.28,а) и кососимметричной (рис.8.28,б) нагрузок.

  В первом случае симметричной внешней нагрузки имеем:

 

 

 а) б)

 Рис. 8.28

 Из (8.7) следует Х2 = 0, т.е. при симметричной внешней нагрузке обращается в нуль кососимметричный силовой фактор (перерезывающая сила), что и требовалось доказать.

 Во втором случае кососимметричной внешней нагрузки имеем:

 

 Канонические уравнения (8.7) принимают вид

   (8.8)

Т.к. определитель системы двух первых уравнений (8.8)

  

 то х1 = х3 = 0, что и требовалось доказать.

  Полученные результаты могут быть распространены на пространственные стержневые системы.

Начало отсчета секториальных площадей. Формула нормальных напряжений. Центр изгиба. Касательные напряжения в поперечном сечении и их определение. Дифференциальное уравнение углов закручивания и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Внецентренное действие поперечной силы. Аналогия с изгибом. Особенности стесненного кручения тонкостенных стержней замкнутого профиля.
Прочность и разрушение материалов и конструкций