Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Модельные задачи и методы исследования устойчивости упругих систем

 1. Метод Эйлера. Рассмотрим простую модельную задачу, которая поможет выяснить все особенности потери устойчивости. Пусть абсолютно жёсткий стержень (стойка) шарнирно опёрт на нижнем конце и закреплён с помощью упругой горизонтальной пружины на верхнем (рис. 9.10,а). Эта пружина отражает упругие свойства системы при поперечном отклонении. Реакцию пружины представим соотношением :

  (9.3)

где - горизонтальное перемещение верхнего конца стойки. Если переме 104

щение  мало, то нелинейными членами можно пренебречь и принять В противном случае задача принимает геометрически нелинейный характер.

 Нагрузим стойку вертикальной силой Р. Если подействовать на жёсткий стержень поперечной малой возмущающей силой , то он отклонится на некоторый малый угол . Теперь снимем эту силу статически. Если стойка вернётся при заданном значении силы Р в исходное состояние, то она устойчива в смысле Эйлера, если не вернётся, то неустойчива. Пусть имеет место второй случай. Составим уравнение равновесия стойки:

  (9.4)

где  - реакция упругой пружины.

 Из (9.4) следует уравнение

 

откуда либо  (устойчивость), либо  (неустойчивость). Пусть  Тогда в нуль обратится круглая скобка, что позволяет найти критическую силу

  (9.5)

 Полученное значение силы при котором система впервые не возвратилась к исходному состоянию, называется бифуркационной нагрузкой Эйлера. При этом значении силы  происходит нарушение единственности решения задачи , т.е. бифуркация или ветвление решения. Вопрос о том, как будет вести себя стойка при >= остаётся открытым.

 2. Метод Лагранжа. В основу этого метода положено динамическое определение устойчивости состояния равновесия Лагранжа. Для отклонённого состояния стойки, пользуясь принципом Даламбера, имеем

(рис. 9.10,б):

  (9.6)

где - упругая реактивная сила,  - сила инерции, - прогиб, - ускорение, m – масса груза на конце стойки.

 105

 

 а) б)

 Рис. 9.10

 Из (9.6) находим уравнение колебаний системы с сосредоточенной массой m:

  (9.7)

 Полагая , получим характеристическое уравнение:

  (9.8)

где

  (9.9)

Если Р<, то >0,  

  (9.10)

где  - круговая частота колебаний, - начальная фаза, А – амплитуда колебаний. Движение носит периодический характер и потому устойчиво. Если учесть внешнее и внутреннее сопротивление системы, то решение будет иметь вид

 ,

где - параметр, определяющий сопротивление движений. Колебания с ростом времени t затухнут, и система вернётся в своё исходное состояние. Следовательно, исходное состояние равновесия устойчиво.

 Если Р>, то k – действительное число. Решение принимает вид:

   (9.11)

и носит апериодический, т.е. неустойчивый характер. При  имеем . При  происходит переход от устойчивого периодического движения стойки к неустойчивому апериодическому. Это происходит при критической силе

 Таким образом, динамический метод Лагранжа приводит к тому же результату, что и метод Эйлера.

Начало отсчета секториальных площадей. Формула нормальных напряжений. Центр изгиба. Касательные напряжения в поперечном сечении и их определение. Дифференциальное уравнение углов закручивания и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Внецентренное действие поперечной силы. Аналогия с изгибом. Особенности стесненного кручения тонкостенных стержней замкнутого профиля.
Прочность и разрушение материалов и конструкций