Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Метод Кармана (начальных несовершенств). Т. Карман первым рассмотрел процесс продольного изгиба стойки с начальными несовершенствами как задачу устойчивости и трактовал предельную нагрузку не как исчерпания несущей способности системы, а как предел устойчивости. Однако такая точка зрения долгое время (вплоть до наших дней) не находила поддержки. Применим метод Кармана к стойке на рис. 9.11а.

 

 а) б) в)

 Рис. 9.11

Стойка имеет отклонение от вертикали на некоторый угол  и сжимается силой Р. При Р>0 стойка отклонится от вертикали на угол >. Уравнение равновесия в некоторый момент процесса продольного нагружения стойки имеет вид

  (9.12)

где  Из (9.12) следует:

  ,  (9.13)

Дифференцируя по или по Р соответственно, находим:

  (9.14)

откуда при  следует  Согласно изложенной в 9.1 концепции значение силы является пределом устойчивости и совпадает с эйлеровой силой.

 4. Энергетический метод С.П. Тимошенко. При отклонении системы на угол   от положения равновесия (рис. 9.11в), верхний конец стержня опускается на величину . Сила Р совершает работу . Перемещение

  

где прогиб   

Работа силы Р на перемещение  принимает вид  

 Упругая внутренняя реактивная сила  совершает работу, называемую потенциальной энергией деформации:

 

Величина

 

носит название полной потенциальной энергии системы, связанной с потерей устойчивости. Если П > 0 (Р < ), то энергии П достаточно для возвращения стержня в исходное состояние, т.е. его состояние равновесия устойчиво. Если П < 0 (P >), то энергии деформации недостаточно для возвращения стержня в исходное состояние равновесия, т.е. он находится в неустойчивом состоянии равновесия. Граничное значение энергии П = 0 является критерием для определения критической силы . Таким образом, энергетический метод приводит к критической нагрузке, равной нагрузке Эйлера для данной модели.

 5. Метод Койтера исследования нелинейного послебифуркационного процесса выпучивания (нагружения). Пусть реакция в упругой пружине (рис. 9.13):

   (9.15)

т.е. зависимость носит нелинейный характер.

 

 а) б) 

 Рис. 9.13

Тогда уравнение равновесия (9.3) примет вид

  (9.16)

откуда либо  либо , и тогда равно нулю выражение в квадратной скобке. Второе условие приводит к соотношению, которое позволяет установить зависимость между силой Р и перемещением в процессе нагружения элемента:

  (9.17)

 Если > 0, то имеем кривые зависимости с симметричной бифуркацией (рис. 9.13,а). Предположим, что с развитием выпучивания и увеличением перемещения  в пружине при >0 возникают пластические деформации. Тогда вместо (9.3) при  имеем:

   

откуда

  (9.18)

и с ростом нагрузка Р будет падать (рис. 9.13,а).

 В реальных системах переход к пластической стадии деформирования осуществляется на графике от плавно с экстремальной предельной точкой.

 Если < 0 , то согласно (9.17) имеем симметричную неустойчивую бифуркацию, характерную для сжатых неупругих стержней и пластины (рис. 9.13,б).

Пусть теперь

  (>0).

Тогда, согласно (9.12), имеем:

   

откуда при  получаем:

  (9.19)

 При >0, <0, <0 зависимость (9.19) имеет несимметричный вид (рис. 9.14,а). Прогибы после бифуркации растут при падающей нагрузке. Такая точка бифуркации называется неустойчивой. Она характерна для упругих оболочек. 

  Если >0, >0, <0, то бифуркация будет также несимметричной (рис. 9.14,б).

 

 а) б)

 Рис. 9.14

Изгиб и растяжение (сжатие) плоского кривого бруса Понятие о кривом брусе большой и малой кривизны. Эпюры внутренних силовых факторов. Нормальные напряжения в поперечном сечении при чистом изгибе в главной плоскости. Эпюры нормальных напряжений. Определение положения нулевой линии для некоторых видов поперечных сечений бруса. Нормальные напряжения от продольной силы.
Прочность и разрушение материалов и конструкций