Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня 

 Познакомившись с концепцией устойчивости и модельными задачами, мы можем теперь перейти к рассмотрению задач устойчивости упруго сжатого стержня (рис. 9.15).

 

 а) б)

 Рис. 9.15

 Считаем стержень идеально прямым и сжатым центрально приложенными силами Р (рис. 9.15,а). Следуя методу Эйлера, будем считать исходное состояние равновесия упругого стержня устойчивым, если после статического приложения и снятия возмущающей силы при постоянных внешних сжимающих силах Р стержень возвращается к своей исходной прямолинейной форме равновесия. В противном случае состояние равновесия считаем неустойчивым.

 Допустим, что стержень остался в изогнутом состоянии (рис. 9.15,б). Отсечём часть стержня на расстоянии z от начала координат, считая угол поворота сечения  малой величиной, и составим уравнения равновесия:

   (9.20) 

 Изгибающий момент в поперечном сечении, согласно (6.9), равен:

 . (9.21)

Приравнивая выражения моментов (9.20), (9.21), находим:

  (9.22)

Дифференцируя (9.22) по z , получим:

   (9.23)

дифференцируя (9.23) по z , приходим к уравнению изогнутой оси потерявшего устойчивость стержня четвёртого порядка: 

  . (9.24)

Введём обозначение:

   . (9.25)

Тогда уравнения (9.22), (9.24) можно записать в виде

  (9.26)

  (9.27)

Общее решение уравнения (9.26) имеет вид:

  (9.28)

В него входят четыре произвольные постоянные .

 Общее решение уравнения (9.27):

   (9.29)

В него входят четыре произвольные постоянные  .

Производные:

  (9.30)

Используя (9.30), из (9.21), (9.23) находим:

   (9.31)

 Постоянные  находятся из граничных условий. Для шарнирно закреплённого по концам стержня при  и  имеем условия:

  

 Для стержня, защемлённого при  и свободного от закрепления при , должны выполняться условия:

  при ,

  при .

 Если на незакреплённом конце при  действуют внешние момент m и поперечная сила R, то

 

 При любом закреплении концов стержня мы имеем четыре граничных условия (по два на каждом краю), которые при подстановке в них выражений (9.28), (9.29) приводят к системе четырёх однородных алгебраических уравнений вида:

 

или

  (9.32)

 Система уравнений (9.32) имеет отличные от нуля решения  только при условии, что её определитель:

  

откуда, после его раскрытия, находим некоторое числовое значение :

   ,

где - некоторое число. Возводя обе части полученного равенства в квадрат и используя обозначение (9.25), получаем формулу для критического значения силы (нагрузки бифуркации) Эйлера:

 , (9.33)

где - приведённая длина Ясинского, - коэффициент приведения длины стержня к длине шарнирно опёртого по концам стержня.

 Соответствующее критическое напряжение Эйлера:

  (9.34)

где

  - (9.35)

гибкость стержня,

- радиус инерции площади поперечного сечения.

  Формула (9.33) для критической силы сжатой колонны  была получена Эйлером в 1744г. а для сжатого шарнирно опёртого стержня - в 1757г. Во времена Эйлера (1707 – 1783) главными конструкционными материалами были камень и древесина. Их слабое сопротивление нагрузкам заставляло инженеров создавать массивные конструкции и сооружения, для которых вопросы устойчивости не имели первостепенного значения. Поэтому теория устойчивости Эйлера долгое время не находила практического применения. Только с введением стали в проектирование инженерных конструкций с гибкими элементами, вопросы устойчивости получили большое практическое значение.

Изгиб и растяжение (сжатие) плоского кривого бруса Понятие о кривом брусе большой и малой кривизны. Эпюры внутренних силовых факторов. Нормальные напряжения в поперечном сечении при чистом изгибе в главной плоскости. Эпюры нормальных напряжений. Определение положения нулевой линии для некоторых видов поперечных сечений бруса. Нормальные напряжения от продольной силы.
Прочность и разрушение материалов и конструкций