Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Устойчивость сжатого стержня с шарнирно закреплёнными краями

 Л.Эйлер рассмотрел задачу с шарнирно опёртыми краями, т.е. с граничными условиями:

   при . (9.36)

Удовлетворяя решение (9.29) четырём условиям (9.36), получим систему четырёх уравнений относительно неизвестных постоянных

  

откуда получаем

 

Если , то Если , то  и откуда следует  где  Следовательно

 

откуда эйлерова бифуркационная нагрузка:

  (9.37)

 Минимальная бифуркационная сила имеет место при , т.е. при изгибе стержня по одной полуволне:

  (9.38)

 При  выпучивание возможно, если в точках смены знаков кривизны и прогибов установить дополнительные опоры (рис. 9.16) В этом случае .

 Рис. 9.16

9.5. Устойчивость стержней с иными

  видами закрепления

 Рассмотрим задачи о продольном изгибе сжатых стержней с иными видами закрепления их краёв. На рис. 9.17 представлены различные случаи закрепления краёв стержня. Случаи а) и б) уже рассмотрены нами в 9.4. Обратимся к другим случаям на рис. 9.17:

 а) Колонна с защемлённым нижним и свободным верхним краями

(рис. 9.17, в). Пусть при  стержень жёстко защемлён, а при  - свободен от закрепления.

  Граничные условия имеют вид

  при

  при  (9.39)

 115

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.39) получим:

  

откуда находим

 Это условие может быть выполнено если  Мы получим

 

 Рис. 9.17

 В этом случае стержень остаётся в исходном прямолинейном состоянии равновесия, т.е. устойчив. Если то это приводит к значениям . Критическая сила с учётом  равна:

  .

Её наименьшее значение отвечает n = 0, т.е.

  . (9.40)

 116

 Уравнение изогнутой оси стержня при найденных значениях постоянных :

 

 Сравнивая (9.40) с (9.33) находим

 Эту задачу можно решить несколько иначе, воспользовавшись решением (9.28) уравнения (9.26) второго порядка. Для рассматриваемой задачи  где - прогиб незакреплённого края при  Тогда, согласно (9.28), имеем:

 

Удовлетворяя это решение граничным условиям:

  ,

получаем

 ,

откуда следует:  Это условие удовлетворяется, если положить

Тогда 

 Следовательно, оба решения приводят к одной критической силе Эйлера (9.40).

 б) Стержень с шарнирно опёртым и жёстко защемлённым краями. В этом случае граничные условия имеют вид

   (9.41)

 Подстановка общего решения (9.29) в (9.41) приводит к системе уравнений:

 

откуда находим  а также систему двух уравнений:

 

 Приравнивая к нулю определитель этой системы, находим уравнение

 

откуда получаем его наименьший корень: (рис. 9.18).

 

 Рис. 9.18

 С учётом  находим критическое значение силы Эйлера:

 . (9.42)

Сравнивая (9.42) с (9.33), получаем . Уравнение изогнутой оси имеет вид:

 

 в) Сжатый стержень с двумя жёстко защемлёнными краями

Граничные условия имеют вид:

 . (9.43)

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.43), получим систему уравнений:

  

откуда находим:  и систему двух уравнений:

 

 Приравнивая к нулю определитель этой системы двух уравнений, получим соотношение:

 , которое будет выполнено, если

  либо .

Первое приводит к  и критической силе Эйлера при n = 1:

  (9.44)

Второе условие приводит к наименьшему значению  и критической силе Эйлера:

   

большей, чем значение, которое даёт формула (9.44). Таким образом, наименьшей критической силой для жёстко защемлённого по обоим концам стержня является (9.44), для которой . Уравнение изогнутой оси в этом случае описывается уравнением:

   

 г) Влияние упругого защемления на устойчивость сжатой колонны.

Рассмотрим сжатую стойку (колонну), нижний конец которой при z = 0 упруго защемлён (рис. 9.19). Мысленно рассечём узел и заменим упругую связь пружиной. Граничные условиями задачи будут:

 

Поскольку момент m заранее неизвестен, то следует дополнить условие совместности деформирования стержня и балки в узле при z = 0. Это дополнительное граничное условие имеет вид

 ,

где угол  найден из решения задачи об изгибе балки с помощью формулы Мора.

 

 а) б) 

 Рис. 9.19

Удовлетворяя теперь решение (9.24) граничным условиям, находим:

  

Решая полученную систему уравнений, находим:

  ,

откуда следует:

 .

 Если стержень жёстко защемлён при z = 0, то

  что с учётом

приводит к выражению критической силы Эйлера:

 

 Пусть  Тогда  и наименьшее значение корня этого трансцендентного уравнения  С учётом  получаем выражение критической силы для упругозащемлённого стержня при частных соотношениях геометрических параметров:

 

что в 1,74 раза меньше критической нагрузки при жёстком защемлении. Таким образом, упругое защемление концов стержня снижает критическое значение сжимающей силы.

Изгиб и растяжение (сжатие) плоского кривого бруса Понятие о кривом брусе большой и малой кривизны. Эпюры внутренних силовых факторов. Нормальные напряжения в поперечном сечении при чистом изгибе в главной плоскости. Эпюры нормальных напряжений. Определение положения нулевой линии для некоторых видов поперечных сечений бруса. Нормальные напряжения от продольной силы.
Прочность и разрушение материалов и конструкций