Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Практический инженерный метод расчёта на устойчивость Ф. Ясинского

  Рассмотрим две простейшие стержневые системы (рис. 9.21).

 Узел А в обоих примерах испытывает одинаковое по модулю воздей-ствие реактивных сил. Однако условия работы среднего стержня 2 будут различны. В схеме на рис. 9.21,а все стержни работают на растяжение, и мы должны потребовать выполнения условия прочности для растягивающих напряжений:

  .

 124

 а) б)

 Рис. 9.21 

 Во втором случае на рис. 9.21,б средний стержень 2 работает на сжатие, а два других - на растяжение, и мы кроме условия прочности на растяжение должны обеспечить условие прочности на сжатие:

 

 Однако этого недостаточно, т.к. сжатый стержень может потерять устойчивость. Поэтому мы должны потребовать выполнения условия устойчивости:

 

 Ф. Ясинский ввёл понятие коэффициента продольного изгиба (снижения основного допускаемого напряжения):

  (9.56)

и записал условие устойчивости в виде

  (9.57)

или

 

где  называют расчётным напряжением.

 125

  Поначалу Ф. Ясинский считал . Тогда: 

 Для  имеет место формула Эйлера и условие для предельной гибкости:

 

откуда следует

 

 Тогда для коэффициента продольного изгиба получаем:

 .

 Следовательно, коэффициент  изменяется в зависимости от  по закону гиперболы.

 Для  воспользуемся формулой касательного модуля либо её аппроксимацией в форме Джонсона:

 ,

для коэффициента  получаем формулу

  

из которой видно, что изменяется по закону параболы.

 На рис. 9.22 представлен график  от  для стали 3  В этом случае  В последствии в СНиПе было уточнено отношение коэффициентов запаса , и расчёт стал производиться по формуле (9.56):

  .

 

 Рис. 9.22

 Для стали обычно  Коэффициент запаса на устойчивость для   принимается постоянным:  При  Точка В, в которой  снижается до значения

  

что отмечено на рис. 9.22 в точке В.

 Для стержней из дерева в СНиПе рекомендуется формула

 

 Для сосны

 

 Для коэффициента продольного изгиба составлены таблицы. Ниже приведена такая таблица для ряда материалов (табл. 9.2).

  Различают три типа расчёта на устойчивость: проверочный, определение допускаемой силы и проектный расчёт. При проверочном расчёте известны действующая сила Р, размеры стержня , допускаемое напря 127

жение на сжатие  способ закрепления стержня, т.е. коэффициент Вычисляется гибкость стержня и по таблице коэффициентов для данного материала находится сам коэффициент   При этом допускается линейная интерполяция , если она не кратна десяти. Затем производится проверка выполнения расчётной формулы (9.57) на устойчи-вость:

 

 При проектном расчёте заданы сила Р, длина стержня , коэффициент приведения длины ,  Неизвестными остаются площадь сечения F и коэффициент продольного изгиба . Поэтому расчёт может быть выполнен только методом последовательных приближений в таком порядке: задаются каким либо значением коэффициента , например ; рассчитывают по нему требуемую площадь   Затем рассчитывается момент инерции , радиус инерции , уточняется площадь , вычисляется гибкость   и по таблице находится соответствующий коэффициент После этого рассчитывается расчётное напряжение: 

 

 Если разница между расчётным и допускаемым напряжением  более 5%, то рассматривается второе приближение с новым значением коэффициента:

 

и расчёт повторяется в указанном выше порядке до тех пор пока разница между  и  станет не более .

 Таблица 9.2. Коэффициенты продольного

  изгиба

 

Сталь 3,4

Сталь 5

Сталь 15ХСНД

Сплав Д16Т

Чугун

Железобетон

Дерево

(сосна)

 0

 1

 1

 1

 1

 1

 1

 1

 10

 0,99

 0,98

 0,98

 1

 0,96

 1

 0,99

 20

 0,97

 0,95

 0,95

 1

 0,91

 1

 0,99

 30

 0,95

 0,92

 0,93

 0,84

 0,81

 1

 0,93

 40

 0,92

 0,89

 0,90

 0,70

 0,69

 1

 0,87

 50

 0,89

 0,86

 0,83

 0,57

 0,57

 1

 0,80

 60

 0,86

 0,82

 0,78

 0,46

 0,44

 0,83

 0,71

 70

 0,81

 0,76

 0,71

 0,35

 0,34

 0,73

 0,61

 80

 0,75

 0,70

 0,63

 0,27

 0,26

 0,64

 0,49

 90

 0,69

 0,62

 0,54

 0,21

 0,20

 0,57

 0,38

100

 0,60

 0,51

 0,45

 0,17

 0,16

 0,52

 0,31

110

 0,52

 0,43

 0,39

 0,14

 -

 -

 0,25

120

 0,45

 0,38

 0,33

 0,12

 -

 -

 0,22

130

 0,40

 0,32

 0,29

 0,10

 -

 -

 0,18

140

 0,36

 0,28

 0,26

 0,087

 -

 -

 0,16

150

 0,32

 0,26

 0,23

 0,076

 -

 -

 0,14

160

 0,29

 0,24

 0,21

 -

 -

 -

 0,12

170

 0,26

 0,21

 0,19

 -

 -

 -

 0,11

180

 0,23

 0,19

 0,17

 -

 -

 -

 0,10

190

 0,21

 0,17

 0,15

 -

 -

 -

 0,09

200

 0,19

 0,16

 0.13

 -

 -

 -

 0,08

 

Изгиб и растяжение (сжатие) плоского кривого бруса Понятие о кривом брусе большой и малой кривизны. Эпюры внутренних силовых факторов. Нормальные напряжения в поперечном сечении при чистом изгибе в главной плоскости. Эпюры нормальных напряжений. Определение положения нулевой линии для некоторых видов поперечных сечений бруса. Нормальные напряжения от продольной силы.
Прочность и разрушение материалов и конструкций