Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости.

 Формула Кармана 

 Теория устойчивости сжатого стержня за пределом упругости окончательно была построена Т. Карманом (Германия) в 1910 году. Он учёл, что нагрузка на вогнутой стороне стержня и разгрузка на выпуклой стороне при выпучивании происходят по различным законам (рис. 9.25):

 - при догрузке  

 - при разгрузке  

 Нейтральная ось дополнительных деформаций не совпадает с центральной осью, как при упругом изгибе, и определяется координатой yP. Поэтому представим их в виде:

  (9.65)

 

 

 Эп.  Эп.

 Рис. 9.25 Рис. 9.26

Величина yр даёт границу зон пластической догрузки и упругой разгрузки с площадями F1 и F2 соответственно. На границе раздела зон ур имеем:

  

откуда следует:

 

 Следовательно, выражение (9.65) можно записать в виде

  (9.66)

 Вычислим с учётом (9.65) дополнительные нормальную силу dN и момент М, возникающие при выпучивании стержня по методу проб Эйлера – Кармана – Зубчанинова:

 

откуда находим

  (9.67)

где

 

Так как

 

то, исключая F1, S1, J1, соотношения (9.67) приведём к виду:

  (9.68)

где

  (9.69)

 Величина К называется приведённым модулем Кармана – Ильюшина. С другой стороны, из уравнений равновесия отсечённой части стержня (рис. 9.16,б) имеем:

  (9.70)

 Сравнивая (6.66), (9.70), получим:

   (9.71)

  (9.72)

 Дифференцируя дважды уравнение (9.72), находим:

  

  (9.73)

 Применяя к исследованию устойчивости стержня метод проб, будем считать dP = 0 при сколь угодно малом выпучивании стержня. Тогда из (9.68), (9.71) следует уравнение

  (9.74)

из которого можно найти границу раздела зон yP = - C = const. При этом изгибная жёсткость D = kJ также будет постоянной величиной. Дифференциальное уравнение (9.73) может быть записано в виде:

   (9.75) 

где

  (9.76)

 Таким образом, задача о потере устойчивости за пределом упругости свелась к решению уравнения (9.75), которое совпадает с уравнением (9.27) для упругой задачи Эйлера. Отличие задач заключается в различии выражений (9.27) и (9.76) для величины К2 . Поэтому формула для нагрузки бифуркации за пределом упругости может быть получена из формулы Эйлера (9.33) простой заменой модуля Е на приведённый модуль К:

  (9.77)

 Формула (9.77) определяет бифуркационную нагрузку Кармана. Её также называют приведенно-модульной нагрузкой. Формула для бифуркационного значения напряжения имеет вид:  (9.78)

 Так как К зависит от , то построение диаграммы бифуркационных значений напряжений производится так же, как и для задачи Энгессера. Формула (9.75) представляется в виде:

  (9.79)

 Задавая , вычисляют , а затем гибкость и строят диаграмму  Вычислим приведённый модуль К для некоторых частных случаев поперечного сечения.

 а) Рассмотрим случай идеализированного двутавра (рис. 9.27,а).Геометрические характеристики сечения:

  

Уравнение (9.74) принимает вид

  

откуда находим границу раздела зон:

 

 а) б)

 Рис. 9.27 

Согласно соотношению (9.69) получим:

  (9.80)

 

 б) В случае прямоугольного сечения (рис. 9.27,б)

  

 Уравнение (9.74) принимает вид

  

откуда находим границу раздела зон:

 

 Приведённый модуль К, согласно (9.69), равен:

  (9.81)

 Из (9.74), (9.80) видно, что приведённый модуль явно зависит от Е, ЕК. Поэтому при построении диаграммы критических (бифуркационных) напряжений сначала строятся зависимости FK и К от . На основании диаграммы сжатия (рис. 9.28,а) находится касательный модуль ЕК как функция напряжения , а затем по формулам (9.69), либо (9.80), (9.81) вычисляется приведённый модуль К. После этого по формуле (9.79) строится диаграмма критических напряжений

 Приведём более простой вывод формулы Кармана для приведенно-модульной критической силы. Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя буквой r в отличие от радиуса  оси стержня. Расстояние от нейтрального слоя до текущего волокна , а перемещение точек этого слоя

 

 а) б) в)

 Рис. 9.28 

Тогда дополнительные напряжения:

 

где принято

 

 Дополнительные нормальная сила и изгибающий момент:

  (9.82) 

где

 

статические моменты и моменты инерции площадей F1, F2 для зон пластической догрузки и упругой разгрузки; J = J1 + J2 – момент инерции всей фигуры относительно нейтральной оси,

  (9.83)

приведённый модуль Кармана. Из уравнения равновесия отсечённой части потерявшего устойчивость стержня имеем:

  

 140

Сравнивая с (9.82), получаем дифференциальные уравнения:

 

После двукратного дифференцирования первого уравнения получаем:

  (9.84)

где

  (9.85)

 Для случая идеализированного двутавра (рис. 9.27,а) второе уравнение (9.84) с учётом:

  

принимает вид

 

откуда

 

Следовательно,

 

 Аналогично можно получить выражение приведённого модуля для стержней прямоугольного сечения.

 Т. Карман не только создал теорию приведённого модуля, но и проверил её тщательно поставленными экспериментами. Опытные значения пределов устойчивости легли между кривыми, рассчитанными по теории приведённого модуля и теории продольного выпучивания сжатых стержней для эксцентриситета прилагаемых сжимающих сил, равно 0,005h где h – толщина прямоугольного поперечного сечения стержня.

 Исследования Энгессера, Кармана, Ясинского по созданию теории устойчивости сжатых стержней за пределом упругости оставили глубокий след в истории её развития.

Изгиб и растяжение (сжатие) плоского кривого бруса Понятие о кривом брусе большой и малой кривизны. Эпюры внутренних силовых факторов. Нормальные напряжения в поперечном сечении при чистом изгибе в главной плоскости. Эпюры нормальных напряжений. Определение положения нулевой линии для некоторых видов поперечных сечений бруса. Нормальные напряжения от продольной силы.
Прочность и разрушение материалов и конструкций