Устойчивость стержня, сжатого следящей силой
Рассмотрим задачу о сжатии следящей силой, т.е. силой, которая при выпучивании стержня поворачивается так, что остаётся касательной к изогнутой оси на конце стойки (рис. 9.43). Такая сила может быть создана реактивной струёй ракеты.
Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы:
а) б)
Рис. 9.43
Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы:
Общее решение задачи представлено выражением (9.29). Граничные условия задачи имеют вид
при 
;
при 
, (9.120)
где
Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.120), получим:
Исключая постоянные 
, находим:
(9.121)
Определитель этой системы:
Следовательно, система уравнений (9.116) не
имеет отличных от нуля решений и потому 
Таким образом, по методу Эйлера сжатый следящей силой стержень не имеет искривлённых форм равновесия. Эту задачу впервые рассмотрел
А.Пфлюгер (Германия) в 1950 г. и пришёл к выводу, что сжатый следящей силой стержень всегда устойчив.
Такой вывод оказался неверным, т.к. метод Эйлера и его понятие устойчивости не являются общими и относятся только к задачам с консервативными внешними силами.
В данной задаче потеря устойчивости проявляется не в переходе системы в смежное равновесное состояние в смысле Эйлера, а в переходе её в режим движения. Поэтому для исследования устойчивости со следящей неконсервативной силой следует применить динамический метод Лагранжа. Предположим, что на конце стержня сосредоточена масса m
(рис. 9.43,б). Тогда при её движении вместе
со стержнем возникает сила инерции 
, где точки над 
означают дифференцирование по времени. Для
решения задачи воспользуемся принципом Даламбера и уравнением (9.105), которое
в силу q = 0 принимает вид:
(9.122)
где прогиб есть функция
z и времени t, т.е. 
Для решения задачи воспользуемся методом разделения
переменных Фурье, полагая:
(9.123)
Подставляя (9.123) в (9.122), получим:
(9.124)
Общее решение (9.124) имеет вид:
(9.125)
Граничные условия задачи:
при z = 0,
при z = 
(9.121)
Удовлетворяя решение (9.120) граничным условиям (9.121), получим граничные условия для:
при 
при 
(9.127)
Первые три условия очевидны. Последнее поясним подробнее. После подстановки (9.123) в четвёртое условие (9.126) имеем:
откуда, разделяя переменные, получим:
где 
- постоянная величина.
Следовательно,
(9.128)
Полагая в (9.128)
, находим 
(9.129)
для действительных значений
и
(9.130)
для 
мнимых (
- действительных) значений 
.
Подставляя (9.125) в граничные условия (9.127), находим:
(9.131)
Исключая из (9.131) 
найдём
(9.132)
Приравнивая определитель системы (9.132) к нулю, получим:
(9.133)
Пока выражение под радикалом
в (9.128) положительно 
, оба значения 
действительны и имеет место устойчивый
периодический процесс движения (9.130).
Случай
(9.134)
отвечает 
и переходу от устойчивого движения к неустойчивому. Корень
уравнения (9.133) нами уже вычислялся:он равен 
,
откуда получаем критическое значение следящей силы:
при которой сжатый стержень получит динамическую бифуркацию. При этой силе колебательный процесс становится неустойчивым. Примером такого беспорядочного процесса могут служить катастрофы при запуске баллистических ракет.