Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Задача А.Р. Ржаницына об устойчивости сжатого стержня в условиях ограниченной ползучести

 Все материалы обладают тремя основными свойствами – упругости, пластичности и вязкости. При длительной эксплуатации конструкции, которая содержит сжатый силами Р стержень, может проявиться свойство вязкости материала в виде его ползучести либо релаксации напряжений. Эти явления при ограниченной ползучести (для таких материалов,как бетон, полимеры,композиты) описываются законом Кельвина:

   (9.135)

где  время релаксации, Е – модуль продольной упругости, Н – длительный модуль упругости,  и  - скорости напряжений и деформаций.

 Рассмотрим шарнирно опёртый стержень, сжатый силами Р (рис. 9.45).

 

 Рис. 9.45

 Из условий равновесия отсечённой части стержня имеем N = -P, Q = 0,

M = PV. Деформация и её скорость при изгибе стержня:

  (9.136)

 Умножая (9.135) на , интегрируя по площади стержня и используя (9.136), получаем:

   (9.137)

где 

 Подставляя в (9.132) выражения  находим:

  (9.138)

 Примем для прогиба V и его скорости выражения

  .

 Тогда из (9.138) получаем:

   (9.139)

где  - (9.140) 

бифуркационнные нагрузки Л. Эйлера и А.Р. Ржаницына.

 Обозначим: . (9.141) 

Тогда уравнение (9.139) преобразуется к виду

  (9.142)

 Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

  

или, после потенцирования,

   . 

 Постоянную С находим из начального условия  при  

В результате получаем:

  (9.143)

 Если прогиб по методу проб Эйлера на устойчивость, то выражение (9.142) даёт закон поведения прогиба после снятия возмущающей поперечной силы. Возможны три состояния процесса изгиба стержня во времени t. При  коэффициент , и из (9.143) следует, что при прогиб , т.е. стержень устойчив, т.к. возвращается со временем к своей начальной прямолинейной форме (рис. 9.45).

 Рис. 9.46

 При  имеем , и при прогиб , т.е. стержень неустойчив. При  имеем  и решение уравнения (9.137)  Стержень остаётся в безразличном состоянии на границе между устойчивым и неустойчивым состояниями процесса выпучивания.

  Таким образом, мы обнаруживаем что при  сжатый стержень обладает свойством длительной устойчивости, т.к. после снятия возмущения остаётся пребывать в малой окрестности исходного невозмущенного состояния при  

 Реальные стержни обладают начальными несовершенствами своей прямолинейной геометрической формы. Пусть V0 – начальный технологический прогиб оси стержня. Будем смотреть на него как на малый возмущающий фактор. Тогда кривизна изогнутой оси стержня в процессе его деформирования:

  

а относительные деформации и напряжения:

 

 Умножим вновь (9.122) на и, интегрируя, получим уравнение

  (9.144)

 Полагая в (9.144):

  

и учитывая обозначение (9.141), приходим к уравнению

   (9.145)

 Решение уравнения (9.140) имеет вид

  (9.146)

 Начальным условием при для решения (9.146) является статическое решение (9.106) задачи о выпучивании упругого стержня с начальным прогибом:

 .

 Удовлетворяя решение (9.141) этому условию, получим:

 

и общее решение:

  (9.147)

При  имеем  и поэтому из (9.147) при получаем, что прогиб   ограничен и стремится к значению (рис. 9.46):

 .

 При  имеем  и поэтому из (9.141) при  получаем .

 Рис. 9.46

Процесс выпучивания во времени неограничен и, следовательно, неустойчив (рис. 9.47).

 При коэффициент , и из уравнения (9.140) получаем:

 

 При нагрузке  впервые процесс выпучивания стержня из материала с ограниченной ползучестью становится неустойчивым. Поэтому Р* названа длительной критической нагрузкой А.Р. Ржаницына.

Продольно - поперечный изгиб прямого бруса Понятие о продольно-поперечном изгибе. Расчет по деформированному состоянию. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба. Продольный изгиб бруса с небольшим начальным напряжением в главной плоскости. Продольный изгиб бруса силой, приложенной с эксцентриситетом на главной оси инерции. Продольно-поперечный изгиб при наличии поперечной нагрузки. Приближенный метод. Расчет на прочность при продольно-поперечном изгибе.
Прочность и разрушение материалов и конструкций