Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Устойчивость упругого стержня в условиях неограниченной ползучести

  Ползучесть некоторых полимерных материалов в установившейся стадии является нелинейной и описывается при вязкоупругих деформациях законом:

  (9.148)

Тогда постановка задачи об устойчивости на бесконечном интервале времени не имеет смысла. При ограниченной ползучести задача об устойчивости сжатого стержня имеет смысл, в соответствии с концепцией устойчивости, если сжимающая нагрузка Р больше нагрузки надёжности устойчивых состояний. В противном случае стержень может разрушиться от чрезмерного продольного изгиба вследствие развивающихся деформаций ползучести. Инженерной задачей является определение критического времени, в течение которого стержень способен воспринимать внешнюю нагрузку.

 Рассмотрим стержень идеализированного двутаврового поперечного сечения (рис. 9.48), шарнирно опёртый по краям и сжатый силами Р.

 Рис. 9.47

 Пусть  длина стержня, площадь каждой полки составляет F/2, и их размеры малы по сравнению с высотой сечения h, так что можно считать напряжения в каждой полке распределены равномерно. Площадью тонкой стенки пренебрегаем. Определяем момент инерции поперечного сечения:

  

 Уравнение равновесия части стержня, отсечённого на расстоянии z от края (рис. 9.47), записываем в виде:

   (9.149)

где  и  - напряжения в полках соответственно на вогнутой и выпуклой сторонах; Р – сжимающая сила; V – прогиб в сечении.

 Деформация в стержне:

 

 В частности, для полок двутавра получаем:

   (9.150)

 Вычитая деформации друг из друга, находим дифференциальное урав 170

нение изогнутой оси стержня:

  (9.151)

 Введём безразмерные прогиб и осевую координату:

 

 Тогда уравнения равновесия (9.149), (9.151) примут вид

  (9.152)

  (9.153)

где среднее напряжение в поперечном сечении стержня.

  Из уравнений (9.152) найдём:

  (9.154)

 Дифференцируя (9.152), (9.153) по t, получим:

  (9.155)

  (9.156)

 Подставив (9.154), (9.155) в (9.148), найдём для каждой из полок:

  (9.157)

 

 Подставив (9.157) в (9.156) и приняв n = 3, найдём:

  (9.158)

 Примем для определения прогиба выражение:

   (9.159)

 Разложив нелинейный член в (9.158) в ряд Фурье по синусам и приравняв нулю коэффициент при  получим:

  (9.160)

Здесь

  

 Разделив переменные и проинтегрировав (9.160) от  до  получим:

  (9.161)

 Здесь безразмерный мгновенный прогиб, определяемый из решения упругой задачи:

 

 Выражение (9.161) характеризует время, необходимое для достижения заданного прогиба при данном мгновенном прогибе  Критическая ситуация, характеризуемая исчерпанием несущей способности стержня и быстрым нарастанием прогибов, наступает при некотором критическом времени , когда  В этом случае из (9.156) следует:

   

 Если , то , т.е. наступает мгновенная потеря устойчивости. При  критическое время увеличивается. На рис. 9.48 а,б приведены зависимости безразмерного прогиба  от времени t для и критического времени tкр от безразмерного параметра нагрузки . В расчётах было принято  

 При  прогибы стержня неограниченно увеличиваются.

 При линейной неограниченной ползучести (n = 1) вместо уравнения (9.158) получаем:

   

Приняв прогиб V* в той же форме (9.159), имеем:

 

а после интегрирования:

   

 Следовательно,  при т.е. бесконечно большой прогиб реализуется в течение бесконечно большого времени, иными словами, в

 условиях неограниченной ползучести конечного, отличного от нуля предела длительной устойчивости не существует.

 а) б)

 Рис. 9.48 

Продольно - поперечный изгиб прямого бруса Понятие о продольно-поперечном изгибе. Расчет по деформированному состоянию. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба. Продольный изгиб бруса с небольшим начальным напряжением в главной плоскости. Продольный изгиб бруса силой, приложенной с эксцентриситетом на главной оси инерции. Продольно-поперечный изгиб при наличии поперечной нагрузки. Приближенный метод. Расчет на прочность при продольно-поперечном изгибе.
Прочность и разрушение материалов и конструкций