Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Устойчивость плоской формы изгиба балок

 Балка, изогнутая в своей плоскости, может потерять устойчивость своей плоской формы изгиба при некотором критическом значении внешней нагрузки и выпучиться в сторону (рис. 9.51). При этом поперечное сечение балки повернётся, т.е. балка будет испытывать изгиб с кручением.

  Рассмотрим свободно опёртую балку длиной , изгибаемую по концам моментом m (рис. 9.51,а). В докритическом состоянии дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид:

  (9.162)

 Интегрируя дважды, получим:

 

 

 

 Рис. 9.49

 Так как при z = 0, прогиб V = 0, то  и потому

  

 Максимальное значение прогиба:

 

 На рис. 9.50 показан график зависимости Vмах = f от значений момента m.

 Кружочек отвечает моменту появления пластических деформаций (пределу пропорциональности mпц), сплошной кружочек – предельному моменту mпред, при котором происходит образование пластического шарнира и исчерпание несущей способности балки, тонкая линия соответствует упругопластическому поведению балки.

 Если сечение балки узкое (высокое), как у полосы или двутавра

(рис. 9.47), то при некотором критическом значении изгибающего момента mкр. произойдет бифуркация решения, и балка получит боковое выпучивание с закручиванием.

 Рис. 9.50

.

 Пусть угол  характеризует наклон изогнутой оси балки в плоскости x – z при боковом отклонении, а  - угол закручивания в некотором произвольном сечении z. Представим момент M = m в сечении в виде вектора  по правилу правого винта (буравчика). Тогда, проецируя на оси x/, y/, z/, отнесённые к сечению (рис. 9.51,г), получим:

 

Следовательно, дифференциальные уравнения изгиба и кручения принимают вид

  

где учтена малость величин U, V,  

 Для прямоугольника:

  

 

 Первое уравнение совпадает с (9.162) и описывает докритический изгиб после точки бифуркации А.

 Дифференцируя третье уравнение по z и исключая с помощью второго уравнения производную  получаем:

  

  (9.163)

где 

  (9.164)

Общее решение уравнения (9.163) имеет вид

  (9.165)

Удовлетворяя (9.165) граничным условиям:

 при 

получим  (9.166)

 Если положим в (9.166) C1 = 0, то получим тривиальное решение, при котором балка не получает бокового выпучивания. Если  то откуда и, согласно (9.159), находим:

  

 Более трудным оказывается решение задач о плоской форме изгиба при поперечном изгибе. Так, для консольной балки, нагруженной поперечной силой, имеем:

  

При изгибе шарнирно опёртой балки длиной  силой Р, приложенной посередине пролёта, имеем:

   

а при действии распределённой нагрузки q:

 

Продольно - поперечный изгиб прямого бруса Понятие о продольно-поперечном изгибе. Расчет по деформированному состоянию. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба. Продольный изгиб бруса с небольшим начальным напряжением в главной плоскости. Продольный изгиб бруса силой, приложенной с эксцентриситетом на главной оси инерции. Продольно-поперечный изгиб при наличии поперечной нагрузки. Приближенный метод. Расчет на прочность при продольно-поперечном изгибе.
Прочность и разрушение материалов и конструкций