Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Энергетический метод определения критических нагрузок

 Энергетический метод представляет собой один из способов определения критических нагрузок. Пусть согласно методу проб Эйлера сжатый силами Р стержень не вернулся в исходное состояние равновесия (рис. 9.51).

 а) б) 

 Рис. 9.51

 При этом подвижная шарнирная опора переместится на величину так, что сила Р совершит работу  а стержень выпучится (изогнётся). Энергия изгиба:

   

 Учитывая, что  получим:

  (9.167)

 Рассмотрим элемент стержня ВС = dz. Этот элемент к моменту потери устойчивости уже сжат, и при упругом изгибе его длина не меняется. После изгиба элемент ВС займёт положение В/С/ = dz. Поэтому укорочение стержня ВС по направлению z будет:

  

 Сближение концов стержня при потере устойчивости:

   (9.168)

 Работа, совершаемая силой Р, определится соотношением:

 

 Приравнивая выражение (9.167), (9.168), получим:

  (9.169)

 Если точная функция прогибов стержня известна, то значение критической силы находится просто. Для шарнирно опёртого стержня  что даёт известную формулу:

   

 В общем случае функция прогибов V неизвестна, и её задают приближённо. Пусть, например, в той же задаче  

Тогда

 

 Как видно, при приближённом задании прогиба, удовлетворяющем граничным условиям, критическое значение силы больше, чем при точном задании прогиба.

 Можно показать в общем случае, что по сравнению со всеми функциями прогиба V(z), удовлетворяющим граничным условиям, истинная функция прогиба даёт минимальное значение Ркр.

 Пример. Найти критическую силу для сжатой колонны (рис. 9.54).

 Граничные условия для данной задачи имеют вид: 

  при z = 0. 

 Примем для прогиба выражение:

   (1)

удовлетворяющее граничным условиям. Сохраним  в (1) два члена ряда:

  (2)

 После подстановки выражения прогиба (2) в (9.164) и интегрирования, получим:

 Рис. 9.52 

  (3)

 Если выражение прогиба положим С1= 0, т.е. сохраним только один член, то найдём минимальное значение силы Р, равное:

  

что даёт погрешность по отношению к точному значению  равную 21,6%.

 При двух значениях постоянных С0, С1 минимальное значение Р найдём, дифференцируя (3) по С1/С0 и приравнивая выражение к нулю:

 

или

 

откуда

  или 

 Наименьшее значение критической силы даёт первый корень:

   ,

что отличается от точного решения только на 0,92 %.

Продольно - поперечный изгиб прямого бруса Понятие о продольно-поперечном изгибе. Расчет по деформированному состоянию. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба. Продольный изгиб бруса с небольшим начальным напряжением в главной плоскости. Продольный изгиб бруса силой, приложенной с эксцентриситетом на главной оси инерции. Продольно-поперечный изгиб при наличии поперечной нагрузки. Приближенный метод. Расчет на прочность при продольно-поперечном изгибе.
Прочность и разрушение материалов и конструкций