Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Вынужденные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы. Резонанс.

 Возмущающие силы  представим в форме:

  (10.31)

где - круговая частота возмущающей силы.

В этом случае канонические уравнения движения примут вид

  (10.32) 

 В частном случае системы с одной степенью свободы  вместо (10.32) будем иметь:

   (10.33)

или

  (10.34)

 Решением уравнения (10.34) будет:

  (10.35)

где

  (10.36) 

Подставляя (10.35) в (10.34),найдем постоянную В:

  

откуда

  (10.37)

 Если учесть трение, то собственные колебания системы, определяемые в (10.35) первым слагаемым, со временем затухнут и для установившегося режима вынужденных колебаний будем иметь:

   (10.38)

 Величина В представляет собой амплитуду вынужденных колебаний. Максимальное перемещение:

  (10.39)

где

  (10.40)

коэффициент динамичности.

  Максимальное динамическое напряжение

  (10.41)

 При  имеем  

 Явление резкого увеличения амплитуды колебаний В и  при совпадении частот собственных колебаний и возмущающей силы носит название резонанса, а само совпадение частот:

   (10.42)

условия резонанса.

  Возвратимся к системе с n степенями свободы. Решение системы уравнений (10.32) представим в виде

  (10.43)

 Подставляя (10.43) в (10.32), найдем:

   (10.44)

 Например, для системы с двумя степенями свободы (n = 2) получим:

  (10.45)

 Решение системы (10.44) имеет вид

   (10.46)

где определяется формулой (10.20), если заменить на  

 При  будем иметь:

  (10.47)

и поэтому амплитуды вынужденных колебаний  т.е. имеет место резонанс.

 В технике возмущающие силы бывают известны довольно редко. Обычно известна только их частота . Поэтому задача динамического расчета упругих систем сводится к определению собственных частот свободных колебаний с целью выявления возможности резонанса.

Продольно - поперечный изгиб прямого бруса Понятие о продольно-поперечном изгибе. Расчет по деформированному состоянию. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба. Продольный изгиб бруса с небольшим начальным напряжением в главной плоскости. Продольный изгиб бруса силой, приложенной с эксцентриситетом на главной оси инерции. Продольно-поперечный изгиб при наличии поперечной нагрузки. Приближенный метод. Расчет на прочность при продольно-поперечном изгибе.
Прочность и разрушение материалов и конструкций