Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

 Пример 1. Определить низшую частоту собственных колебаний балки методом Релея, если вес единицы ее длины равен q (рис. 10.13).

 

 а) б)

 Рис. 10.13

 Решение. Найдем сначала приближенное выражение изогнутой оси балки. Для этого к концу балки приложим поперечную силу Р. Согласно методу начальных параметров, прогиб произвольной точки с координатой z будет:

 

или, так как  то

  (1)

 Вычислим потенциальную энергию согласно (10.56):

   (2)

 Знаменатель в формуле Релея (10.55) с учётом (1) будет равен:

  (3)

поэтому, согласно (2), (3) и (10.55) имеем:

   

 Точное решение этой же задачи есть:

 

 При m1 = 0 легко подсчитать ошибку приближённого решения. Она составляет всего 1,5%.

 Пример 2. Определить методом Релея низшую частоту собственных колебаний системы, состоящей из стержня и присоединенной к ней массы m. Масса стержня равна M (рис. 10.14).

 

 Рис. 10.14

 Решение. Примем для перемещения поперечного сечения стержня выражение:

   (1) 

 Согласно (10.57) с учётом (1), получим:

  (2)

 Знаменатель в формуле (10.55):

  (3)

 Подставляя (2) и (3) в формулу Релея (10.55), найдём:

  

где  - масса стержня. Величина  носит название приведенной массы. Коэффициент - коэффициент приведения массы. Он показывает, какую часть массы стержня нужно присоединить к сосредоточенной массе m чтобы свести упругую систему к системе с одной степенью свободы. Если масса стержня   то

 

. Изгиб балок на упругом основании Понятие о балках на упругом основании. Типы упругих оснований и их свойства. Условия контакта подошвы балки и упругого основания. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на винклеровом упругом основании и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Случаи бесконечно длинных балок.
Прочность и разрушение материалов и конструкций