Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Понятие о приведенной массе

 Рассмотрим упругую систему, например балку с распределенной массой (рис. 10.15,а). Поставим следующую задачу. Какую массу m0 нужно приложить в некоторой точке В такой же, но невесомой балки

(рис. 10.15,б), чтобы низшие частоты колебаний исходной и упрощенной систем были одинаковы. Точку В назовем точкой приведения массы систе-мы, а массу m0 - приведенной массой.

 

 а) б)

 Рис. 10.15

 197

Если — коэффициент жесткости системы, то ее потенциальная энергия:

   (10.61)

 Подставляя (10.61) в формулу Релея (10.55), получим:

  (10.63) 

 С другой стороны, для системы с одной степенью свободы имеем

  (10.64)

 Сравнивая (10.62) и (10.63), получим:

  (10.65)

 Пример. Определить приведенную массу и частоту собственных колебаний тяжелой балки (рис. 10.16).

 

 Рис. 10.16 

 

 Решение. Примем для амплитуды выражение

 

Тогда, с учётом (10.64) имеем:

 

Перемещение

Поэтому

 

10.7. Устойчивость вращающихся валов

  Рассмотрим вал, вращающийся с угловой скоростью  (рис. 10.17) и несущий сосредоточенные массы  (диски).

 

 Рис. 10.17

 Будем считать, что он идеально сбалансирован и при вращении сохраняет прямолинейную форму. Если скорость вращения невелика, то малые случайные воздействия приводят вал к изгибным колебаниям, которые быстро затухают. В этих условиях прямолинейная форма вала устойчива. При некоторых больших скоростях вращения прямолинейная форма вала перестает быть устойчивой. Получив при этих скоростях вращения прогиб от случайного воздействия, вал уже не возвращается к своему исходному, прямолинейному состоянию. Он теряет устойчивость своей прямолинейной формы. Скорость о, при которой впервые вал не возвращается к своему исходному состоянию при действии случайного воздействия, называется критической угловой скоростью вращающегося вала.

 Предположим, что при действии возмущающих сил в смысле Эйлера, вал отклонился от своей прямолинейной формы и остался в искривленном состоянии. Тогда при его вращательном движении возникают центробежные силы инерции , приложенные к сосредоточенным массам, в каждый момент движения уравновешиваются упругими силами. Поэтому перемещение массы m, можно записать в виде:

  

 Например, для системы с двумя сосредоточенными массами будем иметь:

  (10.66)

 Система (10.66) имеет отличные от нуля решения только в том случае,

если определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю: 

  (10.67)

 В случае системы с n степенями свободы получим выражение (10.20), т.е. критическая угловая скорость вращения в точности совпадает с частотой собственных колебаний вала как балки.

 В частности, для системы с одной степенью свободы имеем:

  (10.68)

 Явлению неустойчивости вращающихся валов можно дать и несколько иное истолкование. Идеально сбалансированных валов не бывает и в них, с самого начала вращения, возникают центробежные силы инерции, которые растут с увеличением . Следовательно, растут и перемещения  

(рис. 10.18,а).

 

 а) б)

 Рис. 10.18

 Здесь имеем явление, аналогичное таковому при эксцентричном сжатии гибкого стержня (рис. 10.18,б).

. Изгиб балок на упругом основании Понятие о балках на упругом основании. Типы упругих оснований и их свойства. Условия контакта подошвы балки и упругого основания. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на винклеровом упругом основании и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Случаи бесконечно длинных балок.
Прочность и разрушение материалов и конструкций