Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Продольные колебания стержня

 Перейдем теперь к изучению колебаний упругих систем с непрерывно распределенной массой, т.е. к системам с бесконечным числом степеней свободы. Простейшим примером такой системы является однородный стержень (рис. 10.22), в котором возбуждены продольные колебания, например, ударом по его концу.

 Пусть плотность материала. Тогда масса элемента стержня длиной dz равна:

  (10.85)

 Осевое перемещение сечения:

 

является функцией двух аргументов – координаты произвольного сечения z и времени t.

 

 Рис. 10.22

Используя принцип Даламбера, напишем уравнение движения элемента стержня:

 

или, с учётом (10.85),

   (10.86)

 Поскольку

   (10.87)

то, исключив с помощью (10.87) из (10.86) усилие N, находим уравнение:

  (10.88)

где

  (10.89) 

 Уравнение (10.88) называется волновым уравнением. Оно описывает динамические процессы в стержне, такие как распространение волн и колебания. Величина С называется скоростью распространения упругой волны. Для стали С = 4900 м/с, для алюминия С = 5100 м/с.

 Решение уравнения (10.88) ищем в виде:

  (10.90)

Подставляя (10.90) в (10.88), получим:

  (10.91)

или, после разделения переменных:

 

откуда для функций T(t), Z(z) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:

  (10.92)

  (10.93)

Общий интеграл уравнения (10.92):

  (10.94)

откуда видно, что  это круговая частота свободных колебаний.

 Общий интеграл уравнения (10.93) имеет вид:

  (10.95)

Постоянные с1, с2 находятся из граничных условий на концах стержня.

 Пусть, например, стержень закреплен неподвижно на нижнем конце и свободен на верхнем (рис.10.23,а).

 а) б)

 Рис. 10.23

При Z = 0 имеем W = 0, следовательно, Z = 0, а при z =  

Тогда получаем:

  (10.96)

 Если с1 = 0, то колебания отсутствуют. Если  то

и тогда:

  (10.97)

 Стержень имеет бесконечное множество частот собственных колебаний. Низшая частота или частота основного тона имеет место при

n = 1:

  (10.98)

 Рассмотрим теперь колебания стержня, у которого один конец защемлён, а другой несет груз массы М (рис. 10.23,б). На закрепленном конце при Z = 0 по-прежнему имеем Z = 0, из (10.95) следует с2 = 0.

 На свободном конце с прикрепленной массой М на основании прин 208

 ципа Даламбера имеем:

  (10.99)

или с учетом (10.40), (10.92):

   (10.100)

 Подставляя (10.95) при с2 = 0 в граничное условие (10.100), находим:

  (10.101)

 Если с1 = 0, никаких колебаний нет. Если  то колебания есть. Для удовлетворения условия (10.102) следует приравнять нулю квадратную скобку. В результате находим:

   (10.102)

где через  обозначена масса стержня. Решение уравнения (10.102) можно найти графически (рис. 10.24). Для этого необходимо найти точки пересечения двух функций:

   (10.103) 

При малых частотах, когда  малая величина, уравнение (10.102) упрощается:

   (10.104)

откуда следует:

  (10.105)

Этот результат соответствует задаче, когда массой стержня m можно пренебречь по сравнению с массой Мгруза.

  Рис. 10.24

 Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в разложении  в уравнении (10.102) два слагаемых:

 

Тогда получим:

 

откуда

  (10.106)

 При больших значениях  гипербола проходит близко к оси абсцисс, а точка пересечения с тангенсоидой мало отличается от  Следовательно,  

. Изгиб балок на упругом основании Понятие о балках на упругом основании. Типы упругих оснований и их свойства. Условия контакта подошвы балки и упругого основания. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на винклеровом упругом основании и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Случаи бесконечно длинных балок.
Прочность и разрушение материалов и конструкций