Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Поперечные колебания стержня

 Рассмотрим поперечные колебания балки постоянного сечения с площадью F (рис. 10.25). Участок балки длиной dz имеет массу где плотность материала. Воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки четвертого порядка статической задачи:

   (10.107)

 При рассмотрении динамической задачи мы должны считать, что прогиб v является функцией двух переменных z и t. Нагрузка q также должна зависеть от координаты z и времени t.Учитывая только инерционную силу  и используя принцип Даламбера, вместо (10.107) получаем дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки:

   (10.108)

 Как и в случае продольных колебаний, решение задачи ищем в виде:

  (10.109)

 Можно считать  Тогда после подстановки (10.109)

в (10.108), получим уравнение

  (10.110)


 Рис. 10.25

где

  (10.111)

 

 Решение уравнения (10.110) имеет вид

  (10.112) 

 Постоянные А, В, С, D находим из граничных условий на опорах:

  при z = 0,

  при  (10.113) 

 Из первых двух условий имеем B = D = 0. Из двух других находим:

  (10.114)

 

Приравнивая нулю определитель системы уравнений (10.114), получим:

  (10.115)

 Так как только при , то остаётся принять:

  

или, согласно (10.111),

   (10.116)

Из (10.114) при  и  следует с = 0. Таким образом, при изгибных колебаниях балки образуется бесконечное число частот собственных колебаний, пропорциональных n2, где n – число полуволн изогнутой оси балки. Прогибы балки:

  (10.117)

 При колебаниях в основном тоне балка изгибается по одной полуволне

( n = 1). При n = 2 имеем две полуволны, при n = 3 – три (рис. 10.25).

 Колебания балки в основном тоне (n = 1) можно использовать для определения динамического модуля упругости материала, из которого

изготовлена балка. Из (10.116) получаем:

  (10.118)

где  - частота колебаний.

. Изгиб балок на упругом основании Понятие о балках на упругом основании. Типы упругих оснований и их свойства. Условия контакта подошвы балки и упругого основания. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на винклеровом упругом основании и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Случаи бесконечно длинных балок.
Прочность и разрушение материалов и конструкций