Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Основные виды напряжённо-деформированного состояния (НДС)

  До сих пор мы рассматривли в основном простейшие виды НДС – растяжение – сжатие, плоский чистый сдвиг и их комбинацию (рис. 11.3).

 Они встречаются при растяжении и сжатии стержня и его кручении, а также при изгибе (рис. 11.4).

 

 а) б) в)

 Рис. 11.3

 Они встречаются при растяжении и сжатии стержня и его кручении, а также при изгибе (рис. 11.4). При растяжении и сжатии (рис. 11.4,а) осевая   и поперечные деформации  определяются законами Гука и Пуассона:

  (11.11)

 

 а) Растяжение б) Кручение

 в) Изгиб

 Рис. 11.4

При плоском чистом сдвиге (рис. 11.4,б) деформация сдвига

  (11.12)

 Часто на практике встречаются двухосное растяжение и его комбинация с чистым сдвигом (рис. 11.5).

 

 

 а) б)

 Рис. 11.5

В последнем случае состояние называют плоским напряжённым состоянием. Оно возникает в тонкостенных элементах конструкций, таких как плиты (пластины) и оболочки (рис. 11.6).

  При двухосном растяжении деформации в направлениях  и  могут быть найдены на основании законов (11.11) для одноосного растяжения. Представим  на основании принципа независимости действия сил (напряжений ) в виде суммы деформаций в каждом из направлений и  от этих сил:

  (11.13)

 

 а) б)

 Рис. 11.6

 Для плоского напряжённого состояния (рис. 11.6,б) с учётом (11.12) получаем:

  (11.14)

 

 При трёхосном растяжении (рис. 11.7,а) на основании законов (11.11) аналогичным образом получаем:

  (11.15)

 

 а) Трёхосное б) Плоская в) Объёмное напряжённое

  растяжение деформация состояние

 Рис. 11.7

 

 Если сложить соотношения (11.15), то получим закон упругого изменения объёма:

  (11.16)

где  – (11.17)

относительное изменение объёма,

   – (11.18) модуль объёмной деформации.

  На практике часто встречается напряжённое состояние, изображённое на рис. 11.7,б. Оно возникает в удлинённых телах со стеснённой в этих направлениях деформацией. Примером могут служить подпорная стенка, тело плотины, железнодорожный рельс и др. В этих случаях призматическое тело как бы зажато между двумя опорами, а нагрузка вдоль тела остаётся неизменной (рис. 11.8).

 

 а) б) в) г)

 Рис. 11.8

Произвольная точка А тела при деформации остаётся лежать в одной плос-кости, параллельной плоскости х, у. Напряжённое состояние отличается от плоского тем, что возникает напряжение . Соответствующее деформированное состояние тела носит название плоской деформации. Относительные деформации определяются соотношениями закона Гука, полученные использованием принципа независимости действия сил (напряжений). Накладывая на соотношения (11.5) при трёхосном растяжении плоский чистый сдвиг с напряжениями  получаем:

  (11.19)

 Характерным примером возникновения объёмной НДС могут служить контактные задачи. Например, задачи о контакте колёс вагона с рельсами, задача о вдавливании шарика в подшипнике, шаровой опоры в фундамент и др. (рис. 11.9,а).

 

 а) б)

 Рис. 11.9

 Кубик, опущенный в воду (рис. 11.9,б), будет испытывать всестороннее сжатие напряжениями 

 

где удельный вес воды.

 Другим близким примером могут служить полупространства, представляющие собой модель грунтовой среды. Слой грунта толщины z оказывает на нижележащие слои давление  , где  удельный вес грунта. Напряжения . Деформации  и согласно (11.12):

 

откуда

 

где

 

называется коэффициентом бокового давления среды. Если , то  и частица будет испытывать всестороннее сжатие, т.к.:

  .

 При этом изменение объёма  так как . Такая среда называется несжимаемой.

. Изгиб балок на упругом основании Понятие о балках на упругом основании. Типы упругих оснований и их свойства. Условия контакта подошвы балки и упругого основания. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на винклеровом упругом основании и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Случаи бесконечно длинных балок.
Прочность и разрушение материалов и конструкций