Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

 Примеры решения задач по определению перемещений методом начальных параметров

  Пример 6.7. Однопролетная балка находится под действием сосредоточенной силы Р (рис. 6.9, а).

 а) б)

 Рис. 6.9

Тогда опорные реакции . Балка имеет два участка с различными выражениями для изгибающих моментов:

  (1)

 22

 В этом случае дифференциальные уравнения изгиба на каждом из участков имеют различный вид:

  (2)

 Интегрирование этих уравнений приведет к выражениям для прогибов v1, v2, которые будут содержать четыре постоянные интегрирования. Для их определения нужно составить четыре граничных условия. Это вызовет определенные трудности при решении данной задачи. Метод начальных параметров существенно упрощает решение задачи по определению прогибов балки.

 Составим выражения прогибов для каждого из участков, пользуясь формулой (6.37):

  (3)

  (4)

 Начальные параметры определяем из граничных условий:

  (5)

 Подставляя  в (3) и в (4), согласно (5), находим:

  (6)

 откуда получаем:

  (7)

 Подставляя значения в (3), (4), получим выражения прогибов на каждом из двух участков. Максимальный прогиб находим из (3) либо (4) при . В результате вычислений находим:

   (8)

 Угол поворота на втором участке:

 

 На правой опоре В при z = получаем:

 

 Пример 6.8. Однопролетная балка находится под действием сосредоточенного момента в опоре (рис. 6.9, б). В данном примере опорные реакции  Прогибы балки в произвольном сечении:

  (1)

 или, с учетом ,

  (2)

 Угол поворота находим дифференцированием (2):

  (3)

 При z = 0 на левой опоре А имеем v = 0, что позволяет найти На правой опоре В при z = прогиб v = 0, т.е.

 

откуда

  (4)

 На опоре В при z =  угол поворота, согласно (3), равен:

  (5)

 Пример 6.9. Однопролётная балка с консолью находится под действием распределённой нагрузки q (рис. 6.10).

 Рис. 6.10

Определим прогибы в середине пролета балки и на конце ее консольной части. Составим уравнения равновесия: 

откуда

 

 Для статической проверки правильности найденных значений реакции составляем третье уравнение - сумму проекций на вертикальную ось у:

 

или 

 

Следовательно, реакции найдены верно.

  На опорах балки при z = 0, z = 2а имеем v = 0. Используя (6.21), находим:

откуда следует:

 

 Искомые перемещения:

 

 Если принять а = 2 м, то получим 

 

 При вычислении прогиба на конце консольной части распределенная нагрузка не доходит до рассматриваемого сечения, что является обязательным при применении универсального уравнения. Чтобы выйти из положения, распределенную нагрузку продолжаем до рассматриваемого сечения и добавляем такую же, но противоположного направления (рис. 6.10). Добавление такой же нагрузки в результате дает нагрузку, статически эквивалентную нулю, что не вызовет изменений в деформированном состоянии балки.

 Построим изогнутую ось балки. Для этого отложим на рис. 6.10 значения найденных прогибов с учетом их знаков. Кроме того, необходимо вспомнить, что выпуклость эпюры моментов от распределенной нагрузки совпадает с выпуклостью кривой изогнутой оси. В точке, где  имеет место смена кривизны изогнутой оси балки. Сечение, в которомнайдем из условия

 

откуда Эпюра прогибов изображена на рис. 6.1.

Изгиб статически неопределимых балок Статически неопределимые однопролетные балки и многопролетные балки. Лишние неизвестные. Степень статической неопределимости. Основная система. Уравнения перемещений для определения лишних неизвестных. Понятие об особенностях расчета неразрезных балок. Определение несущей способности статически неопределимых балок.
Прочность и разрушение материалов и конструкций