Определение напряжений на произвольно ориентированной площадке
Рассечём частицу тела около произвольной точки А (рис. 11.11) наклонной плоскостью, направление единичной нормали
к которой определено направляющими косинусами lх ,ly ,lz
(рис. 11.11,а). В результате мы получили фигуру
четырёхугольник, или тетраэдр. При уменьшении расстояния AN = h до нуля наклонная
плоскость пройдёт через точку А. Обозначим площадь наклонной грани через dF, а
площади координатных граней dFx, dFy, dFz. Вектор 
на произвольно ориентированной площадке
с нормалью 
и площадью dF разложим на составляющие:
, (11.28)
где 
проекции напряжения на координатные оси.
Проецируя все силы, действующие на тетраэдр, последовательно на оси x, y, z и сокращая на dF, получим:
а) б)
Рис. 11.11
Очевидно, что площади координатных граней:
Поэтому после сокращения на dF, получаем формулы
(11.29)
называемые формулами Коши.
Таким образом, проекции вектора напряжений 
на произвольно
ориентированной
площадке с направляющими косинусами 
выражается через шесть компонент напряжённого
состояния, совокупность которых образует тензор напряжений. При помощи формул
Коши (11.29) можно найти величину полного напряжения:
. (11.30)
Вектор напряжений 
может быть разложен также на нормальную 
и касательную 
составляющие:
где t – единичный вектор касательной. Тогда:
.
Выразим нормальное напряжение
через проекции 
вектора 
:
(11.31)
и заменим эти проекции согласно (11.29). Получим формулу:
. (11.32)
Если единичный касательный вектор
,
то
(11.33)
где 
направляющие косинусы вектора t, определяющие направление
действия касательного напряжения 
.
Подставляя в (11.33) вместо 
их выражения (11.29), получаем:
(11.34)
В частном случае плоской задачи имеем (рис. 11.12):
Из (11.32), (11.34) находим:
(11.35)
Рис. 11.12
где использованы соотношения
.
11.5. Главные оси и главные напряжения в плоских задачах
Рассмотрим напряжённое состояние, характеризуемое тензором напряжений:
Если 
, то напряжённое состояние называется плоским. Если 
,
то напряжённое состояние соответствует плоской деформации. Найдём экстремальные
значения нормального напряжения 
для плоских задач.
Дифференцируя выражение (11.35)
для 
по 
, и приравниваем полученный результат к нулю:
откуда получаем:
. (11.36)
Из (11.36) находим
два значения угла 
и 
(рис. 11.13), определяющие два направления и две площадки, называемые главными.
Рис. 11.13
Экстремальные значения напряжений
и 
называются главными нормальными напряжениями. На главных
площадках касательные напряжения отсутствуют. Поэтому третья площадка, на которой
действует нормальное напряжение 
, будет также главной. Главным будет напряжение 
.
Так как
то, с учётом (11.36) из (11.35), получаем значения главных нормальных напряжений:
(11.37)
Обычно принято главные напряжения
нумеровать так, чтобы 
.
В частном случае чистого сдвига 
(рис. 11.4).
Рис. 11.14
Из (11.37) получаем: 
В случае растяжения напряжениями 
и чистого сдвига напряжениями 
имеем:
Если частица отнесена к главным осям (рис. 11.15), то формулы (11.35) принимают вид
(11.38)
Из (11.38) видно,
что максимальное касательное напряжение по модулю возникает при 
т.е. на площадках, наклонённых к главным осям под углом
. В этом случае
(11.39)
Рис. 11.15
Как видно из (11.39), на площадке,
где действует 
, нормальное напряжение 
отлично от нуля и равно полусумме нормальных напряжений 
.