Определение напряжений на произвольно ориентированной площадке
Рассечём частицу тела около произвольной точки А (рис. 11.11) наклонной плоскостью, направление единичной нормали
![]()
к которой определено направляющими косинусами lх ,ly ,lz
(рис. 11.11,а). В результате мы получили фигуру четырёхугольник, или тетраэдр. При уменьшении расстояния AN = h до нуля наклонная плоскость пройдёт через точку А. Обозначим площадь наклонной грани через dF, а площади координатных граней dFx, dFy, dFz. Вектор
на произвольно ориентированной площадке с нормалью
и площадью dF разложим на составляющие:
, (11.28)
где
проекции напряжения на координатные оси.
Проецируя все силы, действующие на тетраэдр, последовательно на оси x, y, z и сокращая на dF, получим:
![]()
![]()
а) б)
Рис. 11.11
Очевидно, что площади координатных граней:
Поэтому после сокращения на dF, получаем формулы
(11.29)
называемые формулами Коши.
Таким образом, проекции вектора напряжений
на произвольно
ориентированной площадке с направляющими косинусами
выражается через шесть компонент напряжённого состояния, совокупность которых образует тензор напряжений. При помощи формул Коши (11.29) можно найти величину полного напряжения:
. (11.30)
Вектор напряжений
может быть разложен также на нормальную
и касательную
составляющие:
![]()
где t – единичный вектор касательной. Тогда:
.
Выразим нормальное напряжение
через проекции
![]()
вектора
:
(11.31)
и заменим эти проекции согласно (11.29). Получим формулу:
. (11.32)
Если единичный касательный вектор
,
то
(11.33)
где
направляющие косинусы вектора t, определяющие направление действия касательного напряжения
.
Подставляя в (11.33) вместо
их выражения (11.29), получаем:
(11.34)
В частном случае плоской задачи имеем (рис. 11.12):
Из (11.32), (11.34) находим:
(11.35)
![]()
Рис. 11.12
где использованы соотношения
.
11.5. Главные оси и главные напряжения в плоских задачах
Рассмотрим напряжённое состояние, характеризуемое тензором напряжений:
Если
, то напряжённое состояние называется плоским. Если
, то напряжённое состояние соответствует плоской деформации. Найдём экстремальные значения нормального напряжения
для плоских задач.
Дифференцируя выражение (11.35) для
по
, и приравниваем полученный результат к нулю:
![]()
откуда получаем:
. (11.36)
Из (11.36) находим два значения угла
и
(рис. 11.13), определяющие два направления и две площадки, называемые главными.
![]()
Рис. 11.13
Экстремальные значения напряжений
и
называются главными нормальными напряжениями. На главных площадках касательные напряжения отсутствуют. Поэтому третья площадка, на которой действует нормальное напряжение
, будет также главной. Главным будет напряжение
.
Так как
![]()
то, с учётом (11.36) из (11.35), получаем значения главных нормальных напряжений:
(11.37)
Обычно принято главные напряжения нумеровать так, чтобы
.
В частном случае чистого сдвига
(рис. 11.4).
![]()
Рис. 11.14
Из (11.37) получаем:
В случае растяжения напряжениями
и чистого сдвига напряжениями
имеем:
Если частица отнесена к главным осям (рис. 11.15), то формулы (11.35) принимают вид
(11.38)
Из (11.38) видно, что максимальное касательное напряжение по модулю возникает при
т.е. на площадках, наклонённых к главным осям под углом
. В этом случае
(11.39)
Рис. 11.15
Как видно из (11.39), на площадке, где действует
, нормальное напряжение
отлично от нуля и равно полусумме нормальных напряжений
.
. Изгиб балок на упругом основании
Понятие о балках на упругом основании. Типы упругих оснований и их свойства. Условия контакта подошвы балки и упругого основания. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на винклеровом упругом основании и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Случаи бесконечно длинных балок.
Прочность и разрушение материалов и конструкций |