Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Главные деформации и сдвиги

 Поставим вопрос об отыскании таких направлений в данной точке тела, в которых волокна испытывают экстремальные удлинения, а сдвиг отсутствует. Такие направления назовём главными направлениями деформации, а сами деформации – главными деформациями. Обозначим их   Пусть  направляющие косинусы главного

направления, удовлетворяющие условию:

  (11.84)

 Составим функцию Лагранжа:

 

и условия экстремума этой функции. Получим систему трёх однородных алгебраических уравнений:

  (11.85)

Приравнивая к нулю определитель системы (11.85), получаем:

  (11.86)

 Раскрывая этот определитель, приходим к кубическому уравнению для определения главных удлинений:

  (11.87)

где обозначено:

  

 

 (11.88)

 Величины  являются инвариантами тензора деформа-ций по отношению к повороту координатных осей. Направления волокон, испытывающих главные удлинения называются главными направлениями или осями деформации. Они взаимно ортогональны и сдвигов между ними не происходит.

 В частном случае плоской деформации  Из (11.87) следует уравнение

  ,

откуда находим:

  (11.89)

Система (11.85) при  принимает вид

  

откуда следует формула

  (11.90)

для определения главных направлений деформации.

 Аналогично кругам напряжений Мора имеют место круги деформации Мора. Параметрические уравнения наибольшего из кругов Мора имеют вид:

  (11.91)

 Из (11.91) следует каноническое уравнение окружности Мора для деформации:

  

 На рис. 11.31 дано геометрическое изображение кругов деформаций Мора, из которых следует:

  (11.92)

 

 Рис. 11.31

 Величина:

  

называется параметром Лоде для деформированного состояния. Она характеризует вид деформированного состояния.

  Радиусы кругов Мора дают экстремальные значения сдвигов:

  , (11.93)

которые называются главными сдвигами.

  В соответствии с законом Гука (11.15) и с учётом (11.61), (11.93) получаем:

   (11.94)

11.14. Общее решение кубического уравнения

 для определения главных деформаций

 Как и при определении главных напряжений, сделаем в уравнении (11.87) замену  где Эк – главные деформации тензора- девиатора деформаций. В результате получим:

  (11.95)

где коэффициенты:

  

 (11.96)

являются инвариантами относительно поворота координатных осей x, y, z.

 Фундаментальную роль в сопротивлении материалов играет второй инвариант. Величину

 

или

  (11.97)

называют модулем тензора–девиатора деформаций. Величину

 

называем модулем тензора деформаций.

 Общее решение кубического уравнения (11.65) имеет вид:

  (11.98)

где угол называется фазой девиатора или углом вида деформированного состояния формоизменения. Для определения  имеет место соотношения:

  (11.99)

Определив из (11.99) , находим по формулам (11.98) главные деформации Эк и  девиатора и тензора деформаций.

 Угол  связан с параметром Лоде  соотношением:

 .

 Модуль Э девиатора деформаций имеет простой геометрический смысл. С точностью до множителя Э совпадает с октаэдрическим сдвигом, т.е. . Под октаэдрическим сдвигом понимается сдвиг между октаэдрическими волокнами, которые равнонаклонены к главным осям. Модули девиаторов деформаций Э и напряжений связаны простым соотношением (11.26).

 Из закона Гука (11.15) для главных направлений имеем:

 

тогда

  

Сложное сопротивление Общий случай действия внешних сил на брус. Внутренние силовые факторы и их эпюры в плоских и пространственных ломаных брусьев. Характерные случаи сложного сопротивления прямого бруса: косой изгиб, внецентренное действие продольной силы, изгиб и кручение. Нормальные напряжения при косом изгибе. Эпюра нормальных напряжений. Силовая и нулевая линии. Наибольшие напряжения. Подбор сечений при косом изгибе. Определение прогибов. Нормальные напряжения при внецентренном действии продольной силы.
Прочность и разрушение материалов и конструкций