Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Уравнение совместности деформаций

 Компонент тензора малых линейных деформаций Коши (11.83) можно рассматривать как систему шести дифференциальных уравнений в частных производных для определения трёх компонент перемещений u, v, w. При произвольном выборе  система (11.83) не имеет решения. Компоненты деформации должны удовлетворять шести соотношениям интегрируемости уравнений (11.83), которые носят название уравнений совместности деформаций Сен- Венана.

 

Они имеют вид:

  (11.105)

  (11.106)

 

 При подстановке в соотношения (11.105), (11.106) выражений (11.83) для деформаций они обращаются в тождества. Поэтому их иногда называют тождествами Сен-Венана.

 Получим, например, первое из соотношений (11.100):

 

Аналогично можно получить другие соотношения.

  Подставляя в (11.105), (11.106) вместо компонент деформации их выражения согласно обобщённому закона Гука (11.20) и, используя уравнения равновесия Коши, можно получить уравнения совместности деформации Бельтрами через составляющие напряжений.

 

При отсутствии объёмных сил эти уравнения имеют вид:

   (11.107)

где

 

- среднее напряжение.

Кручение призматических стержней произвольного

 поперечного сечения

 Рассмотрим стержень произвольного сплошного поперечного сечения, который закреплён на одном конце и скручивается моментом М на другом (рис. 11.33).

 

 Рис. 11.33

 Вводим гипотезу жёсткого контура, согласно которой контур сечения поворачивается как жёсткое целое, а площадь сечения может исказиться.

Под действием момента правое свободное торцевое сечение повернётся относительно левого на угол:

  (11.108)

где угол закручивания на единицу длины. Перемещения u и v произвольной точки А в плоскости сечения:

  (11.109)

 Так как гипотеза плоских сечений в общем случае произвольного сечения на выносливость, осевое перемещение

   (11.110)

где функция (x,y) называется функцией кручения Сен- Венана. Она характеризует искажение (депланацию) поперечного сечения.

 Согласно (11.109), (11.110) и соотношениям Коши (11.83) получаем:

  

 В соответствии с обобщённым законом Гука (11.21) находим:

  (11.111)

 Считая в уравнениях равновесия Коши (11.100) объёмные силы равными нулю и подставляя в них выражения (11.111), получим, что первые два уравнения тождественно удовлетворятся, а третье примет вид:

   (11.112)

 Полученное уравнение в частных производных (11.112) называется гармоническим уравнением Лапласа..

 На боковой поверхности стержня внешние силы qx = qy = qz = 0,

 и граничные условия (11.102) принимают вид

  

или

  (11.113)

 Крутящий момент в поперечном сечении

   (11.114)

где

  (11.115)

- геометрическая жёсткость стержня при кручении.

 Из (11.114) следует:

  (11.116)

 Полное касательное напряжение:

   (11.117)

где r =  (11.118) Из (11.117), (11.118) видно, что  возникает при rmax в опасной точке сечения, которая не обязательно наиболее удалённая.

 Таким образом, задача о кручении призматического стержня сводится к решению гармонического уравнения (11.112) для функции  с граничным условием (11.113) на контуре L поперечного сечения. Предложенный метод решения называется полуобратным методом Сен- Венана, в котором часть искомых величин задаётся, а остальные неизвестные определяются из общих уравнений теории упругости при заданных статических граничных условий.

 Можно вместо функции кручения  ввести функцию напряжений F(x,y) Прандтля:

   (11.119)

В этом случае все три уравнения равновесия Коши будут тождественно удовлетворены. Составим гармоническую операцию над F.

 С учётом (11.119) получаем:

  (11.120)

Уравнение (11.120) называется уравнением Пуассона. Граничные условия:

 ,

с учётом  (рис. 11.34) преобразуется к виду

  

или

  (11.121)

на контуре L поперечного сечения.

 

 а) б)

 Рис. 11.34

 Крутящий момент (11.114) может быть представлен в виде

  (11.122)

 Таким образом, задача о кручении в напряжениях сводится к нахождению функции напряжений F из уравнения Пуассона при граничном условии F = 0 на контуре поперечного сечения.

Сложное сопротивление Общий случай действия внешних сил на брус. Внутренние силовые факторы и их эпюры в плоских и пространственных ломаных брусьев. Характерные случаи сложного сопротивления прямого бруса: косой изгиб, внецентренное действие продольной силы, изгиб и кручение. Нормальные напряжения при косом изгибе. Эпюра нормальных напряжений. Силовая и нулевая линии. Наибольшие напряжения. Подбор сечений при косом изгибе. Определение прогибов. Нормальные напряжения при внецентренном действии продольной силы.
Прочность и разрушение материалов и конструкций