Сопротивление материалов Расчет на прочность Формула Мора Устойчивость упругих систем Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Колебаниями упругих систем Продольные колебания стержня Главные деформации и сдвиги

Теория прочности Мора (1860г.)

Согласно этой теории нарушение прочности происходит тогда, когда на некоторой площадке с нормальювозникает наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений. Запишем это условие в виде

  (12.8)

Чтобы сформулировать условие Мора (12.8 ) в терминах главных

 284

напряжений, воспользуемся кругами напряжений Мора.

Если, то мы можем в одной плоскости построить три

окружности Мора (рис. 12.3,а). Условие (12.8) изображается в этой плоскости некоторой кривой.

 а) б) 

 Рис. 12.3

 Если окружность большого круга Мора не касается предельной кривой, как показано на рис. 12.3,а, то разрушения не произойдет. Если круг Мора коснется предельной кривой (рис. 12.3,б), то произойдет локальное разрушение. Следовательно, становится ясным, как построить предельную кривую . Необходимо провести несколько испытаний до раз-рушения при различных однородных напряженных состояниях, т.е. различных сотношениях , а затем построить круги Мора. На рис. 12.4 построены три предельных круга Мора для случаев растяжения чистого сдвига и сжатия. Огибающая этих предельных окружностей и будет предельной кривой. Наиболее просто построить предельные окружности Мора при растяжении и сжатии (рис. 12.5, а). Проведем к ним касательную и допустим, что эта касательная служит предельной огибающей  

Это внесет некоторую погрешность в наши рассуждения.

 Рассмотрим теперь произвольную предельную окружность Мора, касающуюся предельной прямой огибающей (рис. 12.5,б). Из подобия треугольников  АОВ и CDB следует:

 CD:АО =СВ:АВ.

 

 Рис. 12.4

 

 Рис. 12.5

Поскольку

 

то

  

 Так как отрезки АО , ОВ, АВ - фиксированы, то получаем связь между и  в виде

 

 В случае растяжения в предельном состоянии  , и потому . В случае сжатия  Следовательно, . Таким образом, условие разрушения по Мору

принимает вид:

  (12.9)

Условие прочности для хрупких материалов по Мору принимает вид:

 , (12.10)

где - допустимое напряжение на растяжение.

Для пластичных материалов () условие (12.9) превращается в условие прочности по Сен-Венану. Отметим, что у некоторых пластичных материалов пределы текучести при растяжении и сжатии различны, т.е. . В этом случае условие Мора (12.9) преобразуется в условие пластичности для таких материалов:

  (12.11)

Недостатком теории Мора является то, что она не учитывает среднего главного напряжения , т.е. по существу обоснована только для плоского напряженного состояния.

Чтобы устранить этот недостаток, Шлейхером (1926г.) было предложено считать, что предельное состояние (разрушение) достигается тогда, когда возникает наиболее неблагоприятная комбинация октаэдрических касательного и нормального напряжений:

 .

При приходим к условию пластичности Мизеса (прямая 1-1 на pис.12.6 ). В общем случае предельная кривая является гладкой. Прямая 2-2 соответствует хрупкому разрушению от всестороннего растяжения. Эта кривая задается некоторым аналитическим выражением, соответствующим экспериментальным данным.

 В механике горных пород теория прочности Мора нашла широкое применение.

 На рис. 12.7,а изображён круг напряжений Мора радиусом r произвольного предельного напряжённого состояния, а также круг Мора в предельном состоянии для напряжённого состояния чистого сдвига.

 

 Рис. 12.6

 

 а) 

 

 б)

 Рис. 12.7

Уравнение предельной прямой АВ представим в виде

  

где k называют коэффициентом сцепления горных пород, величину

Н – сопротивлением всестороннему растяжению,  угол внутреннего трения.

 Если , то среду называют идеально связной (металлы, бетон, гранит и др.). Если k = 0, то среду называют сыпучей (сухой песок). Последняя совершенно не воспринимает растяжение (рис. 12.7,б).

 Из подобия СДВ и OFB (рис. 12.5,в) находим:

  ,

или, с учётом

 

откуда

  (12.12)

Величины

 

представляют собой параметры предельного состояния горной породы. Величина R может быть названа расчётным сопротивлением среды. Оба параметра R, a выражены через два других параметра предельного состояния: сцепления среды k и угол внутреннего трения .

 Определяем главные напряжения по формуле:

 

Эпюры нормальных напряжений. Силовая и нулевая линии. Ядро сечения. Учет продольной силы в пластическом шарнире. Определение предельной несущей способности при внецентренном действии продольной силы. Понятие о предварительном напряжении балок. Одночленная формула нормальных напряжений в сечении через ядровые моменты при действии продольной силы в главной плоскости. Напряжения в поперечном сечении при изгибе и кручении бруса с круглым поперечным сечением.
Прочность и разрушение материалов и конструкций